【高考辅导资料】2010年高考数学热点：攻略探索性问题

2010年高考数学热点：攻略探索性问题一、考情分析探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西。问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手。近年来，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下几类：(1)探索条件型问题：从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件；(2)探索结论型问题：从给定的题设条件出发，探求相关的结论；(3)探索存在型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在；(4)探索综合型问题：从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发，探究问题的相应变化。二、高考预测预测2010年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也会有所突破，如只猜不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带来了新的理念，这必将促进教学的创新。三、突破策略问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征，从探索性问题的解题过程来看，没有确定的模式，可变性多，对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高，探索性问题的解题策略有：1攻略之一特殊值探路，一般化证明从最简单、最特殊的情况出发，有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明。【例1】已知试判断与的大小关系。解析：由， ，猜想出结论：当时， ；当、3、4时，当或时，然后用数学归纳法证明猜想的正确性。2攻略之二假设存在，推理检验此类题型需从题目所给出的条件及所探求的结论两方面入手，充分挖掘题设条件的内涵与外延，积极向所探究的结论靠拢。解答这类问题的一般思路是：先假定对象存在，运用条件进行推理。若得到相应的合理结论，断言这个对象是存在的；若出现矛盾，则否定先前假设，断言对象是不存在的。【例2】抛物线过定点A（0，2）且以x轴为准线。（1）求抛物线的顶点M的轨迹C。（2）问过定点B，1是否存在一对互相垂直的直线同时都与轨迹C有公共点？证明你的结论。解析：（1）利用数形结合法，根据抛物线定义可求得动点M的轨迹方程为：x +4（y1）= 4（y0）（2）过点B的直线与曲线C有交点需满足什么条件？两直线垂直的条件又是什么？这两者中有何关系？从而推出合理的结论。设过点B，1的直线L为：y1=k（x+），L与C有交点的条件为方程组 有解现假设存在一对过B且与轨迹C有公共点的互相垂直的直线L和L，则有,但由上述结果知这就产生矛盾，故这样的直线不存在。【例3】（2008年湖北高考试题）已知数列和满足：,其中为实数，为正整数。（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3，即矛盾。所以an不是等比数列。()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1=-(+18),所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.()由（）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=-要使aSnb对任意正整数n成立，即a-(+18)1（）nb(nN+) 当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由式得a-(+18),当a3a存在实数，使得对任意正整数n,都有aSn0)。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是（ ）。4. （2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 A. B. C. D. 5.观察sin220+cos250+sin20cos50=,sin215+cos245+sin15cos45=，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 .6. （2009浙江文）设等差数列的前项和为，则，成等差数列。类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列。7. （2009全国卷文）（本小题满分12分）已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（）求a,b的值；（）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。8.（2009北京卷理）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.参考答案1.解析：l且l,mlm.且ll,但不能推出lm.lm,lm,由m.lm,不能推出.答案：B2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张.答案：B3. 答案：C解析：先考查拼成三棱柱(如图1)全面积：S1=,再考查拼成四棱柱(如图2)全面积.(1)若AC=5a,AB=4a,BC=3a则该四棱柱的全面积为S2=(2)若AC=4a,AB=3a,BC=5a则该四棱柱的全面积为S2=(3)若AC=3a,AB=5a,BC=4a则该四棱柱的全面积为S2=又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知即a的取值范围是 。4. AxDyCOy=kx+解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知，选A。 5.解析：由5020=(4515)=30可得sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=.答案：sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=6. 答案： 解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，成等比数列。点评：此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力7. 解：（）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为 故 ， 由 得 ，=（）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 （）知C的方程为+=6. 设 () C 成立的充要条件是， 且整理得 故 将 于是 , =,代入解得，此时于是=， 即因此， 当时， ；当时， 。（）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为。点评：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。8.解法1（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，与平面所成的角的大小.（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.解法2：以A为原煤点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得 . （），BCAP.又，BC