二元风险模型下的保险公司最优投资策略.doc

二元风险模型下的保险公司最优投资策略vo1.25,no.2管理工程journal0findustrialengineering/engineeringmanagement2011年第2期二元风险模型下的保险公司最优投资策略张明善,姚殉,赵武,唐小我(1.西南民族大学管理学院,四川i成都610041;2.电子科技大学经济与管理学院,四川成都610054)摘要:本文考虑了二元风险模型下保险公司的投资问题.假设保险公司的两个子公司分别在风险市场上投资,且投资策略都属于常数族,利用鞅方法得到了破产概率的指数型上界,给控制保险公司的风险提供了可能.并且得到了最优的常数投资策略,该策略可以使破产概率的上界最小.最后给出了具体的算例阐述了本文的结果.关键词:二元风险模型;破产概率;几何布朗运动;指数型上界中圈分类号:f840文献标识码:a文章编号:10044062(2011)02-022804o引言现代保险公司的经营业务一般包含两个方面,一方面是保险业务,其是拓宽资金来源的重要渠道;另一方面是投资业务,是保险公司的主要盈利途径.目前我国保险公司投资渠道主要有银行存款,债券以及证券投资基金.如何加强保险公司的风险控制能力,成为提高保险公司竞争力的关键所在.对于保险公司的风险,很多文献用保险公司的破产概率去衡量.破产概率作为保险公司最重要的风险预警指标,一直是保险风险理论的核心问题.经典的文献对于破产概率进行了精确的估计,参见25.最近,有越来越多的文献关注以下两个问题:如果保险公司除了主营的保险业务外,还在市场上进行投资,其破产概率如何估计;怎样安排投资策略,使得保险公司风险最小,即破产概率最小.以上问题对于我国有着更强的现实意义,2005年保监会允许保险公司投资股票市场,之后保险公司投资于股市的比例不断上升,如何选取最优的投资策略,如何控制风险,成为中国的保险公司在与国外的保险行业竞争中立于不败之地的关键.brownel6考虑了保险公司的承保盈余过程是带漂移的布朗运动,风险资产是几何布朗运动的模型,得到了风险资产的投资应该与初始资本金无关,并且恒为常数,但是显然模型不满足聚合风险模型通常的假设,即索赔额过程为复合泊松过程的假设;hipp和plum研究了保险公司的索赔额过程为复合泊松过程的模型,得到了最大化生存概率的hjb(hamilton-jaeobi-bellman)方程.gaieret.al在索赔额具有一致指数矩的假设下,得到了一种常数的投资策略,并在这种常数投资下,估计出破产概率的lundberg上界.本文讨论更加一般的情况,即考虑一个保险总公司下面有两个子公司,两个子公司分别由不同的承保盈余过程刻画.该模型称为二元保险风险模型,最早由ambagaspitiya提出.liet.a1.!l考虑了带有随机扰动项的二元保险风险模型,给出了该模型下破产概率的指数型上界.在此基础上,本文讨论了保险公司的投资问题:即两个子公司投资于不同的市场,或者同一市场的两种不同的风险证券.两个子公司如何安排合理的投资策略可以使总公司的破产风险最小.下一部分给出本文的理论模型和假设.l模型介绍首先给出不带有投资的二元保险风险模型,即二元承保盈余过程(t)=(r(t),r:(t)如下:(:;)(:)+()一;(),t.?c其中,(t)=(x2),i=1,2,.,表示索赔向量列.表示第一个子公司第i次索赔额的大小,:.表示第二个子公司第i次索赔额的大小.两个子公司的索赔到达过程服从同一个参数为a的泊松过程(t),t0,该假设描述了一次灾难事件的发生导致大于一种索赔要求的情形.下面给出一个典型的例子:一次交通意外可能导致车辆损坏之外(机动车保险)还有可能导致人身伤害(人身伤害保险).同样的现象还出现在自然灾害保险之中,详细解释参考chanet.a1.=(.,:)表示初始资本金向量.=(c,c2)表示瞬时保费收入向量.显然,向量(t),;都是非负的.模型(1)可以简化为:(f)=+;一;,t0.(2)接下来,我们采用gaieret.al_8在一元模型中的处理方收稿日期:20094)34)5修回日期:2009-0911基金项目:教育部科学技术研究重点项日资助(108112);国家自然科学基金重点项目(70932005);科技部科技基础性工作专项项目技术创新方法集成研究与推广应用(2007fy140400);教育部人文社科基金(ioyja630207);四川省哲学社会科学研究十一五规划基金:(sc10b002)作者简介:张明善(1963一),男,四川省西充县人,西南民族大学管理学院教授,研究方向:格序决策理论,风险决策理论.228.vo1.25.no.2管理工程2011年第2期法把投资问题嵌入到模型(1)中.考虑两个风险资产价格过程s.(t),t0和s.(t),t0,其构成了风险价格过程向量专(t)=(s(t),s(t).服从二维几何布朗运动,即dsl(t,)=dt()+(tr,ddwl(t),),e.s定义(t)=(),w2(t).(t)服从二维标准布朗运动,其相关系数为p一1,1.如果在时刻t,如果在时刻t,第家子公司拥有资产(t)=u(t,u,f),=1,2.投资ki(t)份额的资金购买风险资产s,余下的u,(t)一k(t)投资到利率为6的无风险债券,本文假设=0(无风险利率等于通货膨胀率).这样,我们有:)(f)+叫一+i(s)dtf.(s)d(),:1,2.(4)模型(4)是一个一元模型,gaieret.al针对这种模型得到了这样一个结果:即常数投资策略可以使保险公司的破产概率的上界最小.本文考虑两个保险子公司都采用常数投资策略,即(t)=(k(t),k2(t);(k,k),k.,k:为常数.这样我们得到二元总资产模型:();(t,)=():(:)+t(+ixlk:1)一i=1fx2i1+rlklwl(t,)i.cs在本文中,我们给出如下的模型假设:,i=1,2.是独立随机向量列,且与同分布.,i=1,2,n(t),t0与(),t0之间相互独立.;.的联合概率分布函数为f(,:),边际分布函数为f.(1),f2(1).假设ix1kl0,ix220.该假设是一个合理的假设,意思是股票漂移率为正,投资为正,漂移率为负,策略为卖空.下面给出两个向量比较大小的定义:对于两个向量=(.,)和歹:(y.,y),歹当且仅当y,y,.有了两个向量比较之后,我们可以定义破产时间和破产概率如下:r=inft>0:(t)<0=inft>0:maxu(t),u(t)<0.(6)为首次两个子公司的总资产都为负的事件,在一个固定时刻之前破产概率定义为:(,t)=p(jrt).(7)最终破产概率为()=尸(r<.).注1.除了r之外,还有一些重要的破产时间.如r=inft>0:minl(),r2(t)<0和r=inft>0:r(t)+尺(t)<0.对于以上两种破产时间,同样可以定义二元模型下的破产概率.但是和相比,r是更加危险的破产时间.实际上,在时刻r,保险总公司不一定出现赤字,因为只是一个子公司破产.而如果用r定义破产概率,其研究和一维的情况没有区别.注2.由模型假定知,和2,(t)和(t)不一定独立,还有(7)式定义出的破产概率形式,所以本文并不是一维模型的平凡推广.而多于二元的模型只是本文模型的平凡推广.2主要结果在这一部分,本文针对常数投资策略,首先给出破产概率的指数型上界,然后求出最优的投资比例=(,),可以使得破产概率的指数型上界最小.令a=(a,a:)=(ex.,ex:)为;.的均值向量,且满足安全负荷条件(safetyloadingcondition);>a.为了后面的叙述方面,我们给出如下定义:m(s1,s2)=eexp5lxl1+s2l2;,(s,s:)=am(s.,)一1一(c+ixk)s.一(c:+ix2k2)s2+2l215+2plklks2sls2+2222s;s=supl:m(sl,0)<o.,s:sups2:m(0,s2)<go=(s,s2):s10,20,m(s,2)(o,o).f=f,t0表示由总资产过程(t),t0生成的滤波流.在给出主要结果之前,首先给出几个引理.引理1令s>0,s0>0,假设sup(,)s.,s)>0.那么以下结论成立.(a)方程,(,s)=0在g.上有解;(b)给定z0,方程,(s,ls.)=0存在唯一解.如果5.=>0是方程s.,ls):0的解,那么当s.>时,(s.,lsi)>0;当0<1<时,八l,lsi)<0.证明:(a)给定f0,令=ls.有:ae(x+131x:)epx.+ls,x口s一(cl+1k1)一(c2+2k2)z+2l2l1+2lpk1k21251+1222221.因此i:一(+,.一a.)口1i1=.一f(c1+22一口2)<0.(8)(8)中的不等式用到了安全负荷条件.(8)式说明,(s,ls)<厂(0,0)=0,当s1处于5l=0的右边邻域.根据的任意性以及条件sup(,9)of(s.,)>0,(a)成立.(b)对于每一个5>0,z0,有:he(.+lx2):+.一lk2r2:>0.1(9)(9)式说明s.,ls,)是一个严格凸函数,又根据(a)式,显然有(b)成立.229.张明善等:二元风险模型下的保险公司最优投资策略接下来在总资产过程rl(t),t0的基础上构造一个鞅过程.这和一维的情况类似,该鞅过程是对破产概率建立指数型上界的核心工具.引理2定义过程肘(t)垒exp一s.(t)一5(t)一s,s),t0.则对于(s,s:)g.,()是f一鞅过程.证明:因为(t),t0是一个时齐的poisson过程,布朗运动具有平稳独立增量性,对于任意的,h0,有eexp一5.(1+h)一u()一(t+h)一(t)f=exp一sl(cl+l1)hs2(c2+2p2)hexpam(sl,s2)haexp+2p.i25.s+ii:exp厂(s,)h.由上式可以继续计算:e(移(t+h)i,=eexp一sl(1(t+h)一s2(u2(t+h)一,(s1,s2)(t+h)i,=exp一s1u1(t)一s2u2(t)一,(sl,s2)t=(移(i).(1o)(10)式成立说明引理2的结论得证.有了上面两个引理之后,如果两个子公司分别以常数策略投资股票市场,下面的定理给出破产概率的指数型上界.定理1如果令s>0,s>0,假设sup(.,)s,s)>0.那么i()inf.exp一5lm1一s2u2.(11)(l,2)ed其中.=(s1,s2)g.l,(sl,s2)=0.证明:根据文献9,可以构造一个新的滤波流,使得f和肘(t),t01分别是关于的停时和鞅过程.根据引理2.有exp一5u,一s13,2=e|=if(o)=e(t)em(),f=ee()lf,=e膨(tm)lrp(t).(12)(12)式中,表示关于集合a的指标函数.因为对于任意的(sj,s2)g,exps1ul(r一)+s2(jr)1.(12)可以写成p(jrt)exp一slls2u2eexpslul()+s2(r)+,(sl,s1)fltexp一slu1522eexp.5i,si)itexpl_stls2u2】pexp厂(51,51).(13)定义集合一垒(,:),(,)(0和垒(,s)g.l,(s,5:)>0.如果(s.,)e,(13)式中令i一*,左边趋近于.,这对于破产概率的上界是无意义的.下面只需要考虑(s,)一u0,这样,有jp(下t)exp一s1u1一s2u2eexps1u1(下)+52(下一)+sl,1)irtexp一sluls22eexp,(sl,s1)iftinfexp一slu1一s2u2.(14)i|2je一ua根据引理1(a),0是非空集合.又根据引理1(b),(14)右.230.边上界的最小值在.达到.所以p(7_t)inf.exp一sils2u2.(卜2)ea最后令t,可得(11)成立.定理1得证.定理1给出了,采取常数投资策略时破产概率的指数型上界,以下考虑怎样得到最优的常数投资策略,即,究竟为多少时,破产概率的上界最小.该问题可以转化成一个优化问题:t$2u2s.t.厂(5l,s2)=0.(15)(15)是一个非线性规划,构造拉格朗日函数如下:(1,2,)=51l+22+厂(l,s2).(16)为拉格朗日乘子,为根据拉格朗日乘数法,可以得到优化问题(15)的解:1(一)s:这样本文就得到了可以使破产概率上界最小的投资策略(kj*,).3算例和结论在该部分针对第三部分的结果给出具体的算例.假设索赔额向量服从双变量的farliegumbel-morgenstern分布.对于这种分布,详细地介绍参考12,该分布的一般形式为:f(,)=f.(,)()(1+af(,)(),一<l,2<,(17)这里f()=1一.(.),f()=1一()分是f(,)边际分布,e0,1.假设f.,f分别服从参数为=at=0.1,a=口;=0.5指数分布.可以计算出:,(1+a)ala2.4口ala2m(si:_二二一2aia22a1,l2(2als1)(a2一s2)(a1一s1)(2a2一s2)设定参数:a=100,a=0.4,cl=1200,c2=240,c2=240,l=2=0.1,l=2=1,52=5sl.最优投资策略由下表给出:kp=0.85.06784631325.33925p=05.06784434425.33922172口=一0.85.06783961925.3391981o图1最优投资策略表由以上的讨论可以知道,在二元模型下,如果一个保险公司的两个子公司分别在有风险的市场上进行投资,本文给出了破产概率的指数型上界,这样可以有效地控制保险公司的风险.在此基础上,给出了最优的常数投资策略,该策略vo1.25.no.2管理工程2011年第2期可以使破产概率的上界最小.对于更加一般的投资过程下的破产概率和投资策略问题,有待于进一步的研究.123456参考文献r.卡尔斯,m.胡法兹,j.达呐,m.狄尼特.现代精算风险理论m.科学出版社,2005.k1uppelbergc,stadtmfllleru.ruinprobabilitiesinthepresenceofheavytailsandinterestratesj.scand.actuarialj,1998,1:4958.sundtb.teugelsjl.ruinestimatesunderinterestforcej.insurance:mathematicsandeconomics,1995,16(1):722.tang,q.thefinitetimeruinprobabilityofthecompoundpoissonmodelwithconstantinterestforcej.j.app1.probab.2005,42(3),608619.wang,dc.finitetimerainprobabilitywithheavy-tailedclaimsandconstantinterestratej.tosubmittostochasticmodels,2006,revised.brownes.optimalinvestmentpoliciesforafirmwitharandomriskprocess:exponentialutilityandminimizingtheprobabilityof789101114ruin.mathematicsofoperationsresearch,1995,20(4):937958.hippc,plumm.optimalinvestmentforinsurersj.insurance:mathematicsandeconomics,2000,27(2):215228.gaierj,granditsp,schachermayerw.asymptoticruinprobabilitiesandoptimalinvestmentj.ann.app1.probab,2003,13(3):10541076.ambagaspitiyars.compoundbivariatelagrangianpoissondistributions.insurance:mathematicsandeconomics,1998.36(2),137152.lij,liuzm,tangqh.ontheruinprobabilitiesofabidimensionalperturbedriskmodelinsurancej】.mathematicsandeconomics,2007.41,185195.chanws,yangh,zhangl.someresultsonprobabilitiesinatwo-dimensionalriskmodelj.insurance:mathematicsandeconomics,2003.32(3):345358.srevese.stochasticcalculusandfinancem.springerverlag,1997.theoptimalinvestmentstrategyforinsurerswithbidimensionalriskmodelzhangmingshan,yaoxun,zhaowu,tangxiao-wo(1.southwestuniversityfornationalitiescollegeofmanagement,chengdu610041,china;2schoolofmanagementandeconomic,universityofelectronicscience&technologyofchina,chengdu610054,china)abstract:riskcontrolisanimportanttopicforcompaniestominimizethenegativeimpactofaglobalfinancialcrisisonacompanysfinancialperformance.buyinginsuranceisafeasiblewaytotransferfinancialriskstoathirdparty.classicalliteraturecommonlymanagesrisksusingtheruinprobabilityofinsurers.however,manyunresolvedissuesrelatedtoriskcontrolremain.forinstance,howcanafirmestimateaninsurersruinprobabilityifitsinsurancecompanywerealsointhemarketforinvestment.?howcanafirmarrangeinvestmentstrategiestominimizerisksfortheinsurer?toaddressthesetwoissues,thispaperfirstdiscussedthegeneraloptimalinvestmentstrategyadoptedbyaninsurancefirm.twodimensionalinsuranceriskmodelswiththestochasticperturbationwerealsoexplained.wethenpresentedtheexponentialupperboundofruinprobabilityinthesemodels.thispaperdiscussedfourpartsrelatingtoaninsurersinvestment.thefirstpartwasminimizationofbankruptcyriskbyhavingtheparentcorporationadoptareasonableinvestmentstrategyifsubsidiariesinvestindifferentmarketsordifferentrisksecuritiesinthesamemark