二元函数z=f（x,y）的分析性质及其相互关系.doc

二元函数z=f（x,y）的分析性质及其相互关系专题研究二元函数-f(x,y)的分析性质及其相互关系张怀德(定西师范高等专科学校743000)【摘要】函数的分析性质包括连续性,可微性,可积性等.二元函数厂(,y)分析性质存在的条件和相互关系是:连续不一定存在偏导数,偏导数存在也不一定连续;偏导数存在不一定可微,偏导数存在且连续则可微,可微则偏导数一定存在,但偏导数不一定连续;连续不一定可微,可微则一定连续;连续必可积,可积未必连续.【关键词】二元函数八,y);连续;偏导数;全微分;二重积分相对于函数的单调性,奇偶性,周期性等代数性质,将函数的连续性,可微性,可积性称为分析性质.一元函数y=厂()的图像是平面上的曲线,可导与可微是等价的;连续不一定可导(可微),可导(可微)一定连续;连续一定可积,可积不一定连续(如图1).连续可微=可积否图1二元函数=厂(,y)的图像是空间上的曲面,连续,可微,可积三者之间有何关系呢?一,二元函数f(,y)的连续1._厂(,y)的极限若二元函数_厂(,y)满足vs>0,j6>0,v(,y)d:l一0l<6,1ybl<占,且(,y)(0,6),有if(,y)一al<s,称a是二元雨数l厂(,y)在点p(n,b)的极限(二重极限),记为lim_厂(,y)=a.二重极限也称全面极限,动点(,y)在区域d内沿着不同的路径(直线或曲线)和不同的方式(连续或离散),从四面八方趋近于点p(n,b)的极限都是a.反之,当动点(,y)沿着两条不同的曲线(或点列)趋近于点p(n,b)时,f(,y)有着不同的极限,则f(,y)在点p(.,6)不存在极限.例1证明:函数_厂(,):in专ysj,o【0,xy:0.(,y)(0,0)在(0,0)的极限是0.证明vs>0,当xy=0时,v占>0,v(,y)(0,0):li<6与iyl<6,有if(,y)一0i=0<oo.当xy0时,j6=>0,v(,y):ii<6与lyi<6,有ll厂(,y)一0l=n+ysinllsinj+-yisinl+iy<26=8.若o时(y看作常数),函数l厂(,y)存在极限limf(,y)=(y).yb时,(y)也存在极限lira(y)=limlimf(,y)=b,称曰是_厂(,y)在点p(n,6)的累次极限(先n,后y一6).同样可定义另一个不同次序的累次极5limlimf(,y)=c(先y一6,后一0).二重极限与累次极限是分别独立定义的,一般来说它们之间没有蕴涵关系.两个累次极限都存在且相等,二重极限可能不存在;二重极限存在,两个累次极限可能都不存在.例2证明:函数,(,y)二元函数ifx+y),z,+y0,在原点(o,.)不【0.x2y2=0存在极限.证明当动点p(,y)沿着轴(y=0)和直线y=趋近于(0,0)时,分别有limf(,0)=0与limf(,)=图2lim=.所以_厂(,y)在原点(0,0)不存在二重极限(函数图像位于第一,三,六,八卦限过,y轴,关于,y,z轴对称,第一卦限的部分如图2).在例2巾,却有limlim=limliiti=0._+0y0+y_0+v又女口lxim*0(nin)=0,y_0而lim1imfn+ysin1与uy,y,li.+m.lim(in+ysin)都不存在.当累次极限存在时,一般不能用累次极限计算二重极限.由于累次极限是连续两次一元函数的极限,可以将计算二重极限化成累次极限,但需要一定的条件:若函数,(,y)在点p(.,b)的二重极限与累次极限都存在,则二者相等.若两个累次极限都存在但不相等(或一个存在,另一个不存在),则二重极限必不存在.2._厂(,y)的连续_厂(,y)在点p.(n,6)连续,等价于lim,(,y)=l,yjl0,0_厂(o,b).即二元函数的连续就是其极限(二重极限)与函数值相等.若函数_厂(,y)在区域d任意点p(,y)都连续,称函数_厂(,y)在区域d连续.当,(,y)在点p(,y)分别对每个自变数或y(另一个看作常数)都连续时,可能二元函数_厂(,y)在点p(,y)不连续.如例2,vyr与ver,分别有lim=0=,(0,+yy)与li=0=八,0),即厂(,y)在原点(o,0)分别对y与y都连续;但f(,y)在原点(0,0)不存在极限,当然不谇续.数学学习与研究2011女气,_二,二元函数f(.y)的偏导数函数f(,y)在区域d有定义,p(.,b)是d的内点,称极限li掣是,()在p(a,b)关于的偏导数,记为(o,b).类似地有(.,b)=1i.若,()图2在区域d对任意点(,y)都存在偏导数,称_厂(,y)在区域d存在偏导函数,也简称偏导数,表为(,y),/:(,y).设二元函数=_厂(,y)的图像是曲面5(如图3),f(,y)在点p.(n,b)关于的偏导数(o,b)就是一元函数=_厂(,b)在0的导数,是平面y:b上曲线c:,y),在点ly=op(o,b,)(=f(.,b)的切线斜率tana.同样,偏导数(,6)是平面:.上曲线c:_,(,y在点尸(口,6,l一.)的切线斜率ta.若(,y)与(,y)仍存在关于(或y)的偏导数,称他们是_厂(,y)的二阶偏导(函)数.二阶及以上偏导数称为高阶(rt阶)偏导数,至多有2个.其中二阶混合偏导数(,y)(先对后对y)与(,y)(先对y后对)不一定相等,当混合偏导数皆存在且连续时,二者才相等.如函数r2一2,(,y):jyyu在原点(o,o)存在(0,0):【0,xy=01,(0,0)=1.三,二元函数_厂(.y)的全微分若z=_厂(,y)在点(n,b)的全改变量az=,(0+ax,b+y)一_厂(0,b)可表为az=aax+bay+o(p),其中p=/()+(),称_厂(,y)在(.,b)可微.aax+bay是_厂(,y)在(口,b)的全微分,表为=aax+bay或dz=(.,b)+(.,b).可微的几何意义是空间曲面=i厂(,y)在点(n,b,)(=,(n,b)存在切平面.四,二元函数f(,y)的二重积分若,(,y)在有界闭区域r的积分和,(,叩)存在极限,=1jm_厂(,)atr,(1lll=maxd(,),i1ii_+d(r),d(r),称函数,(,y)在r可积,是二元函数八,y)在的二重积分,表为,=j,(,y)dxdy.连续必可积.可积未必连续.五,二元函数f(,y)分析性质之间的相互关系1.连续与偏导数连续=_+偏导数存在.如函数,(,y):y在点(0,0)连续,但它在点(0,0)的两个偏导数都不存在,因为极限axz=m0=i,ax>0,.不存在,同样极限也不存在.偏导数存在连嫱.女)=有llv:ij(0,o)=i_=o和4o,0)=o.bp厂(,y)在(o,o)存在偏导数.但沿着直线y=o与y=(o),有li啦厂(,0)=limx=0与limf(,)=1,即,(,y)在(0,0)不存在极限,就在(0,0)不连续.#帮霸专题研究一2.偏导数与可微偏导数存在,可微.如函数,占=ixyl在点(0,0)存在偏导数(0,o):lim!2二!2:aaxlim.0-q-=0与(0,0)=o.特取a:y,有az=l?j=ll,p=,:i缸l,lip+up0.所以函数=lyj在(0,0)不2微(=ixyi图像位于xy面上方过轴,关于轴,面与yz面对称,第一卦限图4的部分如图4).加强条件可使_厂(,y)在点(.,b)可微,有定理:若函数_厂(,y)在点(n,b)的邻域g存在两个偏导数,且两个偏导数在(o,b)连续,则_厂(,y)在(.,b)可微.偏导数连续是可微的充分条件,而不是必要条件.,f(+y)sint,+y0,例3函数_厂(,y)=jy【0.+y2:0在(0,0)可微,但两个偏导数(,y)与(,y)在(0,0)间断.证明易得(0,0)=0(0,0)=0.有df=(0,0)+/=(0,o)ay=o.而af=(ax)+(y)sin(ax)+()psin(p=)_limp=圳口pp州ppf(,y)在(0,0)可微.v(,y):y0,有(,y)=2xsin去一cos南.当y=时li(,)不存在,即十x十y十y厂(,y)在(0,0)间断;同理厂(,y)在(0,0)间断.可微一偏导数存在.有定理:若f(,y)在点pn(o,b)可微,则,y)在点p.(.,b)存在两个偏导数,且在全微分表达式中,有a=厂(.,b)与b=厂(o,6).3.连续与可微可微一连续.若二元函数f(,y)在点(n,b)可微,由全微分的定义.1imaz=limlaax+bay+o(p)=0,则函数f(,y)在点(.,b)连续.连续_二_+可微.如锥面=否偏导数存在:=二=可微图5v/_在顶点(o,0,0)连续,但在顶点(o,0,o)不存在切平面,因此二元函数=胃在点(0,0)不可微.综合可知,二元函数分析性质之