上海交通大学概率论与数理统计习题全解.pdf

习题1 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)。 解：(1)表示不是运动员的三年级男生； (2)当所有三年级男生都是运动员时，成立； (3)当运动员都是三年级学生时，是正确的。 (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)。 解：(1)表示非平装的中文数学书； (2)若，则说明非平装图书都是中文图书； (3)，即所有数学书都不是中文版的。 证：(1)， 所以。 (2) 。 解：将5本书排列到书架上共有种排法，卷号自左向右或自右向左恰好 为12345顺序共有2种排法，故所求概率为。 解：从八张卡片中任取两张共有种取法，两个数字组成既约分数共有18 种取法，故所求概率为。 解：13个字母随机排列共有13!种排法，组成共有种排法，故所求概率 为。 解：7位乘客在210层的离开情况共有种，没有2位乘客在同一层离开共 有种情况，故所求概率为。 解：把全班学生任意地分成人数相等的两组共有种分法，每组中男女人 数相等共有种分法，故所求概率为。 解：从双鞋子中任取只共有种取法。 (1)所取只鞋子应分属双中的双，而每双中又可任取其中一只，即取 法有，故所求概率为。 (2) 所取只鞋子中有2只属于双中的某一双，其余只分属双中的 双，即取法有，故所求概率为。 (3)将一双鞋子视为一个整体，则只鞋子中恰成对共有种取法，故所 求概率为。 解：将根小棒接成根新棒共有种接法。 (1)全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的情况只有一种，故所求 概率为。 (2)全部新棒的长度都与原来的一样共有种情况，故所求概率为。 1. 在三角形中任取一点，证明：与面积之比大于的概率为。 证明： 如图，由，得。 显然，当落在中时才满足上述要求，由几何概率知，上述事件发生 的概率为 2. 两艘船都要停靠同一泊位，它们都可能在一昼夜内的任意时刻到 达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求两艘船都不 需要等候泊位空出的概率。 解： 设两艘船的到达时刻为，则，两船相会的条件为，。如图，由几何 概率知，所求概率为 。 3. 两人约好在某地相会，两人随机地在下午1点与2点之间到达相会 地点，求一个至少要等候另一个人十分钟的概率。 解： 设两人的到达时刻分别为，则，一人至少等候十分钟的条件为。如 图，由几何概率知，所求概率为 。 4. 圆内有一内接正方形，随机地向圆内投10点，求其中4点落在正 方形内，3点落在一个弓形内，其余3点分别落在其他3个弓形内 的概率。 解：不妨设圆半径为1，则圆面积为，内接正方形的面积为2，弓形面积 为，点落在内接正方形内的概率为，点落在一个弓形内的概率为。 符合题意的点的落法有许多方式，在一种方式中，概率显然为。而 这种方式应有，故所求概率为。 解：设居民订甲、乙、丙三种报纸，则，。 (1)因为，故所求 。 (2)因为，故所求 。 (3)类似(1)计算可得，故所求 。 (4) 类似(2)计算可得，从而所求 。 (5)所求 。 (6)所求。 5. 某年级有100个学生进行测验，数学成绩得优的有70人，语文成 绩得优的有75人，英语成绩得优的有80人，政治成绩得优的有85 人，证明：4门课程全部得优的学生至少有10人。 证明：由，得 ， 故4门课程全部得优的学生至少有10%即10人。 6. 某班级有个人，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？ 解：个人的生日共有种情况，所有人生日都不在同一天共有种情况，故 所求概率为 。 解：设表示至少有一件废品，表示两件都是废品，表示至少有一件正 品，表示两件中一件正品一件废品，则 ， 。 (1)所求为； (2)所求为。 解：设表示任选一名射手能通过选拔，表示此射手为级，则。 由全概率公式。 解：设表示朋友迟到了，分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机， 则。 由全概率公式，再由贝叶斯公式 。 解：设表示被抽取之人是色盲，分别表示此人为男性、女性，则。 由全概率公式，再由贝叶斯公式 。 解：设表示在第个图书馆能借到，根据题意，。 所求为 。 解：设至少要装个产品，表示个产品中废品数，则。 由题意和泊松近似，。 ，即，根据泊松分布表，满足上述关系最小的，从而，即至少要装 105个产品。 解：由题意知，得 ，故 (1)所求为； (2)，所求为 解：设分别表示第一、二、三道工序不出废品，则相互独立，且，所求 为。 解：设为贡献正确意见的顾问数，则。 所求为 。 习题2 解：的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的概率为。 。 解：的取值为8,11,21,23,27，对应的概率为 ，所以分布律为 X811212327 p 分布函数为。 解：X=0,1,2,3,4,5， 故X的分布律为 X012345 P0.77 分布函数 。 解：的分布律为。 (1)。 (2)。 解：(1)。 (2) 。 解：由分布律性质知，即。 解：设同时被使用的取款机数为，则。 (1) 所求为。 (2) 所求为。 (3) 所求为。 解：(1) 设表示4人中血型为的人数，则，所求为 。 (2) 设表示4人中血型为的人数，则，所求为 。 解：设为击中次数，则 (1) ，。 (2) ，。 解：设为甲、乙投中次数，则。 (1) 。 (2) 。 解：。 (1) ，。 (2) ，。 解：设为配备的维修人员数，为同时报修的业主数，则，用泊松近似 得，。 由题意，经查表得。 解：(1)由概率密度性质，即，得。 (2)。 (3)， 。 解：(1)由分布函数的性质，得。 (2) 。 (3) 。 解：。 解：(1)。 (2)。 解：的概率密度为，实根的概率为 。 解：。 (1) 。 (2) 。 (3) 由(1)、(2)知，手机的寿命不超过600的概率为，超过900天的 概率为，所以当一只手机的寿命不超过600时，另一只手机寿 命超过900天的概率。 解：设打电话的时间为，打电话时间超过10 min的次数为，则， 。，由泊松近似， ，。 解：(1)。 (2)。 解：(1)。 (2)， 。 解：， 。 解：(1) Y0 p0.20.40.4 (2) Y1 p0.10.20.30.4 解：(1)的分布律为 X-112 p0.30.50.2 (2)的分布律为 Y12 p0.80.2 解：的概率密度函数为。 (1)， 。 (2) 。 当时，； 当时， ，从而 。 (3)。 当时，； 当时， ，故 。 解：的概率密度函数为。 (1)， 。 Y 3 2 1 0 3 1 0 (2)。 当时，；当时，；从而。 当时， ，从而 。 (3)。 当时，；当时，；从而。 当时， ，得 ， 从而 。 习题3 解： 3正0反 2正1反 1正2反 0正3反 显然， ， ， ， ， 故与的联合分布律为 解：放回抽样： ， ， 和的联合分布律为 X Y 01 0 1 不放回抽样： ， ， 和的联合分布律为 X Y 01 0 1 解：(1)由，得。 (2)。 (3)。 (4)。 解：和的联合分布律以及的边缘分布律为 Y X 012345 0000 1000 2000 3000 1 解：(1)由，得。 (2)， 。 解：， 。 解：，所以条件分布律为 。 解：(1)， 。 (2)， 。 解：(1)边缘分布律、见表格。 (2)从表格中易得条件分布律为 k3031323334 解：(1) 。 (2) ， 。 (3) 。 解：， ， ， 。 解：(1)从计算表格中易看出，放回时独立，不放回时不独立。 (2)因为，所以和不独立。 解：(1) ，。 (2)。 解：因独立，所以和的联合概率密度为。 ， ， ， 的分布律为 Z012 解：(1)因独立，所以； (2)， ， ， ， 。 解：因独立，故， 令，则。 当时，； 当时，； 当时，； 故。 解：(1)因为各周需要量相互独立，所以两周需要量的概率密度为 。 (2)类似可得，三周需要量的概率密度为。 解：(1)， 同理，显然和不相互独立。 (2)。 证：因和相互独立，故。 设表示区域，则。 当时，； 当时， ，故 。 18. 设某种型号的节能灯的寿命(以小时计)近似地服从分布，随机地 选取5只，求其中没有一只寿命小于1900的概率。 解：设节能灯的寿命的为，则， 。 再设5只中寿命小于1900的节能灯数为，则，所求为 。 21. 对某种电子装置的输出测量了5次，得到的结果为。设它们是相 互独立的随机变量且都服从参数的瑞利分布。 (1)求的分布函数； (2)求。 解：(1)， 。 (2)。 22. 设随机变量和相互独立，且服从同一分布，密度函数为 。 试证：也有同样形式的密度函数。 证：令，记，则的分布函数 ， 故。 若与独立，即，则 。 即也有同样形式的密度函数。 23. 设随机变量和是相互独立的，其分布律分别为 ， 证明：随机变量的分布律为 。 证：因为和相互独立，所以 。 24. 设和是相互独立的随机变量，证明： 。 证：， ，即。 25. 设随机变量和相互独立，且，这里的均大于0，则。 注：如，则分布的密度函数为 。 证：因独立，故 ， 所以。 26. 设随机变量的分布律如下表所示： Y01234 00.000.030.050.070.09 10.020.030.060.070.08 20.020.040.060.060.07 30.030.030.050.070.07 X Y (1)求。 (2)求的分布律； (3)求的分布律； (4)求的分布律。 解：(1) 。 。 (2)的取值为0,1,2,3,4。 ， ， 同理，的分布律为 V01234 p00.080.230.380.31 (3)的取值为0,1,2,3。 ， 同理，的分布律为 U0123 p0.310.310.240.14 (4)的取值为0,1,2,3,4,5,6,7。 ， 同理， ，的分布律为 W01234567 p00.050.10.20.250.190.140.07 习题4 1. 在一副去掉大、小王的扑克牌中，随意抽取一张，记录花色后放 回，洗一下牌，再抽取一张，记录花色，如此循环，直至抽到红 桃为止，求抽取次数的期望。 解：随意抽取一张，抽到红桃的概率显然为。 设为第一次抽到红桃时的抽取次数，则服从参数为的几何分布， 即。 。 2. 射击考核中规定，射击5发子弹，其中5发都不命中目标得0分， 命中发得分。一射手每次击中目标的概率为0.7，求这一射手的 期望得分。 解：设为射手的得分，依题意知，故。 3. 一机器生产瓶装饮料，每瓶饮料质量的误差不超过2%。检验员 每天两次检查瓶装饮料的质量，每次随机取50瓶。如其中有两瓶 或两瓶以上质量的误差超过2%，则要调整机器，一周(共5天)中 调整设备的次数为，求。（设各瓶饮料的误差相互独立）（缺条 件） 解：设为每次检验时发现的次品数，则，调整设备的概率 。 ，。 4. 高一(1)班和高一(2)班用同一张试卷进行数学测验，成绩分为不 及格、及格、中、良、优五等，这五等成绩分别用1、2、3、4、 5表示。用表示(1)班任一同学的成绩，表示(2)班任一同学的成 绩，统计两班成绩得下面概率分布： 12345 0.10.20.40.20.1 12345 0.370.10.090.090.35 问一般认为哪个班级的成绩较好? 解：因为，所以(1)班成绩较好。 5. 设随机变量的概率分布为 ， 证明：不存在。 证：因为，不收敛，所以不存在。 6. 设随机变量的概率密度函数为 ， 求。 解：。 7. 气体分子的速度服从麦克斯威尔分布，概率密度函数为 ， 其中是常数，确定系数，并计算气体分子速度的期望。 解：由，即。 。 8. 设随机变量的概率密度函数为 ， 证明：不存在。 证：因为，不收敛，所以不存在。 9. 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下 车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以表示停车的次 数，求（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是 否下车相互独立）。 解：引入随机变量，则，且，所以 。 10. 对第4题中的随机变量，计算和。 解：易得，。 11. 设随机变量的概率密度函数为 ， 求(1)的期望；(2)的期望。 解：(1)； (2)。 12. 对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间内，求球体积的 均值。 解：球径测量值的密度，故球体积的均值。 13. 设二维随机变量的概率密度函数为 ， 求。 解：， ， ， 。 14. 设随机变量和相互独立，概率密度函数分别为 ， 求。 解：， ， 因为和相互独立，所以。 15. 将编号为1到的个球随机地放进编号为1到的只盒子中去，一只盒 子装一个球。若一个球装入与球同号的盒子中，称为一个配对， 记总的配对数为，求。 解：因为每个球都有配对和不配对两个可能，所以引入随机变量 ， 则，。 显然，故。 16. 现有把样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁。用它们 去试开门上的锁，设取到每把钥匙是等可能的，并且每把钥匙试 开一次后除去，求试开次数的期望。 解：显然第一次打开的概率为。 设为“第一人没打开”，为“第二次打开”，则，为“第一人没打开，第 二人打开”，显然，故 。同理可得第三次,次打开的概率均为。 所求期望为。 17. 18. 求第4题中随机变量的方差。 解：， ，。 19. 求第6题中随机变量的方差。 解：， 。 20. 求第7题中气体分子速度的方差。 解：， 。 解：， ， 。 证：因为在内的概率密度， 得 ， 所以。 由，得， ，从而 。 证： 。 解：， 。 25. 设二维随机变量的概率密度函数为 ， 求。 解：，同理。 ， 。 ， ，同理， 所以。 26. 设，求。 解： 。 27. 设服从上的均匀分布，求。 解：，。 ， ， ， 故。 28. 设为随机变量，是常数，证明：对于，有。 证：令，则 ，有唯一驻点。 又，所以为的最小值点，的最小值为 ，从而时，有。 习题5 1. 已知成人每天需要蔬菜250克，方差为25克，试用切比雪夫不等 式估计需要蔬菜在237.5克到262.5之间的概率。 解：由切比雪夫不等式，得 。 2. 设随机变量服从参数为的泊松分布，使用切比雪夫不等式证明： 。 证：，取，由切比雪夫不等式，得 ，即。 3. 设由机器灌装的饮料每瓶含量是一个随机变量，其均值是 640ml，方差是16ml，求12瓶这种饮料的总含量在7668到7692之 间的概率。 解：设为第瓶含量，则相互独立，且。 由独立同分布定理， 所求为 。 解：。 由独立同分布中心极限定理知， ， 。 解：设为投赞成票的居民数，则。 由Laplace中心极限定理，所求为 。 解：设所求现金数为，为领养老金的人数，则，。由Laplace中心极限 定理， 。 由题意， 。 习题6 证：(1)， 。 (2)令，则， 时，； 时， ，所以。 解：设为年收入，则。 (1)。 (2)。 (3)。 解：(1)因为独立同分布，所以的分布律为。 (2)因为独立且，所以，所以的分布律为。 (3)，。 1. 解：。 解：因为，所以。 。 解：因为，所以。 解：(1)。 (2)查表得。 解：(1)。 (2)由得，查表得，所以。 解：(1)。 (2)。 习题7 解：(1)， 由矩法，令，即，得。 (2)， 由矩法，令，即，得。 (3)由矩法，得。 解：(1)， ， 。 (2)， ， 。 解：。 由矩法，即，得 。 解：(1)， 由矩法，令，即，得矩估计值。 ， ，最大似然估计值为。 (2)，由矩法，令，即矩估计量。 的分布律为， ， ， ，即的极大似然估计值为。 解：(1) ， ，。 因为单调增加，且，所以时，最大，从而与的最大似然估计值为。 (2)， 。 由矩法，即，得 。 解：，其中为常数，。 ， ，故的最大似然估计值。 解：， 其中 。 ， 的最大似然估计。 证：因为和为总体的两个样本，故。 (1)，得证。 (2) 。 因， 故 。 同理，从而 ，即是的无偏估计量。 解：(1) ，得。 (2) ，得。 解：显然，即与均为的无偏估计量。 。 令，则，即的最小值为。 又为不全相等的正数，所以，从而比更有效。 解：，。 设的分布函数、密度函数分别为，则 ，。 ，当时，即不是的无偏估计。同理可得，不是的无偏估计。 证：因为和分别是两样本的样本均值，所以， ，从而，即是的无偏估 计。 ，不难得出，当时，达到最小值。 证：(1)因为，所以不是的无偏估计。 (2)由矩法，令，即。 显然，故的矩估计是的无偏估计。 解：。 (1)的置信度为的置信区间为。 ，所求置信区间为。 (2)的置信度为的置信区间为。 ， 所求置信区间为。 1. 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差。设炮 口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差置信水平 为0.95的置信区间。 解：的置信度为的置信区间为。 ，所求置信区间为 。 16. 实验室里甲、乙两位同学合作做一项实验。乙先休息，甲观察实 验情况，然后甲再休息，由乙继续观察实验情况(这是同一项实 验在不断地重复进行)。 甲得到的实验数据为： 12.6, 11.9, 12.8, 13.4, 13.0, 12.7, 13.1； 解：(1)的置信度为的置信区间为。 ，所求置信区间为。 的置信度为的置信区间为。 ，所求置信区间为 。 (2)，所求置信区间为。 ，所求置信区间为 。 (3)置信度为的置信区间为。 ， ， 所求置信区间为。 (4)的置信区间为。 ，所求置信区间为 。 解：置信度为的置信区间为。 ， 所求置信区间为。 解：置信度为的置信区间为。 ， ， 所求置信区间为。 解：置信度为的置信区间为。 ，所求置信区间为 。 解：的置信水平为的置信区间近似为。 (1)，所求置信区间为 。 (2)，所求置信区间为 。 解：(1)已知时，的置信水平为的单侧置信上限为。 ， 所求单侧置信上限为。 为未知时，的置信水平为的单侧置信上限为。 ， 所求单侧置信上限为。 (2)的置信水平为0.95的单侧置信上限为 (3)的置信水平为的单侧置信上限为。 ，所求单侧置信上限为。 解：为未知时，的置信水平为的单侧置信区间为。 ， 所求单侧置信上限为 。 习题8 解：对于未知参数，给出一个区间做为的范围，并同时给出此区间包含 参数真值的可信程度。这种形式的估计称为区间估计。 在总体分布函数完全未知或只知其形式但不知其参数的情况下，为 了推断总体分布或总体分布中的未知参数，可先提出假设，再根据总体 的样本对假设进行检验，从而决定接受或拒绝假设，这一过程称为假设 检验。 区间估计与假设检验都是利用样本对所研究的总体进行统计推断。 区间估计是用一个区间对未知参数进行估计，而假设检验则是对总体是 否服从某种分布或参数是否为某值进行检验。 解：已知，经计算，要检验的假设为。 (1)，构造统计量，则。 令，即，得。 根据样本观察值， 因为，故拒绝，即认为该企业饼干净重不是1千克。 (2)未知，构造统计量，则。 令，即，得。 根据样本观察值， 因为，故接受，即认为该企业饼干净重是1千克。 解：已知，该地区的平均噪声。 构造统计量，则。 令，即，得。 根据样本观察值， 因为，故接受，即认为该地区的平均噪声是64。 解：已知，。 构造统计量，则。 令，即，得。 根据样本观察值， 因为，故拒绝，即认为产品不符合规定要求。 试在显著性水平下，检验“含煤粉率无差异”这个假设。 解：已知，。 构造统计量，则。 令，即，得。 根据样本观察值， 因为，故拒绝，即认为含煤粉率有差异。 解：已知，。 构造统计量，则。 ， ， 从而应接受，即认为两种小麦的蛋白质含量无差异。 解：待检假设为，100个同学的加权平均上网时间为，。 ，拒绝域为。 统计量的值为，因为，所以应拒绝，即能认为该校的情况比报道的 好。 解：待检假设为， ，观察值。 根据检验法，拒绝域为，故不能认为它们达到标准差的要求 解：已知，。 构造统计量，则。 ， ， 从而应拒绝，即认为两种温度下的强力有差别。 解：已知， 构造统计量，则。 ， ，在拒绝域外，从而应接受，即认为。 解：已知，。 构造统计量，则。 ， ， 从而应接受，即认为两种药效果 无差别。 下面检验假设。 构造统计量，则。 统计量的值， 因为，所以应拒绝，即认为，亦即认为B种药稳定性较高。 解：待检假设为， ，观察值。 根据检验法，拒绝域为，观察值落在拒绝域内，故认为这批导线的 电阻值不满足原来的要求。 解：问题归结为在下检验假设。 这是一个单侧检验问题，用检验法，的拒绝域为 。 已知，代入得 ， 故应接受，即该批产品能出厂。 解：， 根据公式，得样本容量。 解：首先由最大似然估计法估计参数得， 若为真，则 ， 用检验法，构造统计量 ， 计算结果为=1.460(表格略)。因为=5.9911.46，所以在显著性水平为 0.05下接受，即认为总体服从泊松分布。 解：设表示第点出现，则待检假设为。 在成立的条件下，理论概率，由得频率。 计算结果见下表： 12320 22620 32120 420200 51520 61520 合计120 4.8 又，查表得， 由上表知，故接受，即认为这颗骰子是均匀的。 解：将两组测量值按自小到大的次序排列，如下表所示： 秩123456789101112 甲 39.3 39.6 39.8 40.2 乙 39.2 39.4 39.5 39.7 39.9 40 40.1 40.3 甲生产线生产的钢管直径的秩和为。 ，显然，故可以认为这两条生产线所生产的钢管直径服从相同的分 布。 习题9 解：本问题是在下检验假设： ，不全相等。 计算结果见下表： 12345 32.334.034.335.036.5172.129618.415933.03 33.333.036.336.934.5174302766078.33 30.334.335.332.335.8168282245665.6 29.326.029.828.028.8141.920135.614035.97 ， ， 。 方差分析表如下： 方差来 源 平方和自由度F值临界值 显著 性 因子 误差 * 总和 因为，所以落在拒绝域中，拒绝，即认为不同品种小麦的小区产量 有显著差异。 解：本问题是在下检验假设： ，不全相等。 计算结果见下表： 12345 7.38.37.68.48.339.91592.01319.39 5.47.47.1 19.9396.01134.33 8.16.4 14.5210.25106.57 7.99.510.0 27.4750.76252.66 7.1 7.150.4150.41 ， ， 。 方差分析表如下： 方差来 源 平方和自由度F值临界值 显著 性 因子 误差 * 总和 因为，所以未落在拒绝域中