山东大学工科大学物理作业卷答案.pdf

一、选择题：一、选择题： 1.一质点沿一质点沿x轴作直线运动，其轴作直线运动，其v-t曲线如图所示，如曲线如图所示，如t=0时，质点位时，质点位 于坐标原点，则于坐标原点，则t=4.5s时，质点在时，质点在x轴上的位置为：轴上的位置为：(C) 2m O (m/s)V 1 2 1 1234 5 . 2 5 . 4(s)t 下下上上 SSx 2.某质点的运动方程为某质点的运动方程为x=2t-7t3+3(SI)，则该点作：，则该点作： (D) 变加速直线运动，加速度沿变加速直线运动，加速度沿X轴负方向轴负方向 t V a t x V d d ; d d 3.某物体规律为：某物体规律为：dv/dt = -Av2t，式中的，式中的A为大于零的常数，当为大于零的常数，当t=0时时 初速为初速为v0，则速度，则速度v与时间与时间t的函数关系是：的函数关系是：(C) 0 2 1 2 1 v At v 4.在相对地面静止的坐标系内，在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以二船都以3m/s的速率匀速行驶，的速率匀速行驶， A船沿船沿x轴正向，轴正向，B船沿船沿y轴正向。今在轴正向。今在A船上设置与静止坐标系方向船上设置与静止坐标系方向 相同的坐标系，那么在相同的坐标系，那么在A船上的坐标系中，船上的坐标系中，B船的速度为船的速度为(m/s)：(B) ji 33 二、填空题：二、填空题： 1.一质点沿一质点沿X方向运动，其加速度随时间变化关系为方向运动，其加速度随时间变化关系为a=4+2t(SI),如果如果 初始时致电的速度初始时致电的速度V0为为7m/s,则当则当t为为4s时时,质点的速度质点的速度V= 39m/s . taVVd 0 2.两辆车两辆车A和和B，在笔直的公路上同向行驶，他们从同一起始线上同，在笔直的公路上同向行驶，他们从同一起始线上同 时出发，并且由出发点开始计时，行驶的距离时出发，并且由出发点开始计时，行驶的距离x(m)与行驶时间与行驶时间t(s) 的函数关系的函数关系A为为xA=4t+2t2，B为为xB=2t2+t3， 它们刚离开出发点时，它们刚离开出发点时， 行驶在前面的一辆车是行驶在前面的一辆车是 A ； 出发后，两辆车行驶距离相同的时出发后，两辆车行驶距离相同的时 刻是刻是 2s ； 出发后，出发后，B车相对车相对A车速度为零的时刻是车速度为零的时刻是。 2 34;44ttVtV BA 0,m/s4,0)1( BA VVt时时 BA xx )2( BA VV )3( s 3 2 3.已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为，则该质点的轨道方程，则该质点的轨道方程 为为。 jtitr )43(6 2 2 3 2 )4( yx消去时间消去时间t 4.一物体做如图的斜抛运动，测得在轨道一物体做如图的斜抛运动，测得在轨道A点处速度点处速度 的大小为的大小为v，其方向与水平方向夹角成，其方向与水平方向夹角成30，则物体，则物体 在在A点的切向加速度点的切向加速度a =，轨道的曲，轨道的曲 率半径率半径 =。 v A 30 4题图题图 g a n a gg 2 1 60sin gv332 2 gvgan/60sin 2 5.一质点从静止出发，沿半径一质点从静止出发，沿半径R=4m的圆周运动，切向加速度的圆周运动，切向加速度 a =2m/s2，当总加速度与半径成，当总加速度与半径成45角时，所经的时间角时，所经的时间t= ， 在上述时间内质点经过的路程在上述时间内质点经过的路程S= 。m2 s2 2 2 m/s221tan aV V aa a a n n a a n ao R 45 s2 2 22 dd d d 22 00 a V tVta t V a t 2 1 Ra 2 2 1 2 2 1 0 ttt m24 2 1 RS 6.一质点沿半径一质点沿半径0.2m的圆周运动，其角位移的圆周运动，其角位移 随时间随时间t的变化规律的变化规律 是是，在，在t=2s时，它的法向加速度时，它的法向加速度an= 80m/s2；切；切 向加速度向加速度 a = 2m/s2。 )SI(56 2 t R t Ran 2 2 d d 2 2 d d t RRa 三、计算题：三、计算题： 1.有一质点沿有一质点沿X轴作直线运动，轴作直线运动，t时刻的坐标为时刻的坐标为x=5t2-3t3(SI)。试求：。试求： 第第2秒内的平均速度？秒内的平均速度？ 第第2秒末的瞬时速度？秒末的瞬时速度？ 第第2秒末的加秒末的加 速度？速度？ 解：解： m235 1 xm48345 2 x m/s6 12 24 12 12 tt xx t x V )SI(910 2 ttV )SI(1629210 2 2 V )SI(1810ta )SI(2621810 2 a 2.一质点沿一质点沿X轴运动，其加速度轴运动，其加速度a与位置坐标与位置坐标x的关系为的关系为a=3+6x2(SI), 如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。 解：解： x V V t x x V t V ixa d d d d d d d d )63( 2 xV xixVV 0 2 0 d)63(d 32 23 2 1 xxV ixxV 3 46 3.质点质点P在水平面内沿一半径为在水平面内沿一半径为R=1m的圆轨道运动，转动的角速度的圆轨道运动，转动的角速度 与时间与时间t的函数关系为的函数关系为 =kt2(k为常量为常量)，已知，已知t=2s时质点时质点P的速度值的速度值 为为16m/s，试求，试求t=1s时，质点时，质点P的速度与加速度的大小的速度与加速度的大小 解：解：16 2 22 t ktkRtRV 4 k 2 4tV m/s4 1 t V tkt t V t Ra82 d d d d 422 16tRan 有：有：时，时，s1 t 2 m/s 8 16 a an 222 m/s58 aaa n O A B C m15 m15 0m3 解：解： t=2s时时: m6045220 Sm56.23 4 152 AB t=2s时，质点运动在大圆弧时，质点运动在大圆弧BC上上 ，有：，有： m/s401020 d d 2 Vt t s V 4.质点质点M在水平面内运动轨迹如图，在水平面内运动轨迹如图， OA段为直线，段为直线，AB、BC段分别为不同段分别为不同 半径的两个半径的两个1/4圆周，设圆周，设t=0时，时，M在在O 点，已知运动方程为点，已知运动方程为S=20t+5t2(SI)。 求：求：t=2s时刻，质点时刻，质点M的切向加速度的切向加速度 和法向加速度和法向加速度 2 2 2 m/s10 d d t t t V a 2 2 2 m/s 3 160 30 1600 V an 5.已知一质量为已知一质量为m的质点在的质点在X轴上运动，质点只受到指向原点的引力轴上运动，质点只受到指向原点的引力 的作用的作用,引力大小与质点离原点的引力大小与质点离原点的x的平方成反比的平方成反比,即即f=-k/x2，k是比是比 例常数，设质点在例常数，设质点在x=A时的速度为零，求时的速度为零，求: x=A/2处的速度的大小处的速度的大小? 解：解： x o m f x V x V m t V mmaf d d d d VmVx x k dd 2 Vx A VmVx x k 0 2 dd A k x k mV 2 2 1 mA k V A x 2 2 时，时， 也可以采用动能定理解决。也可以采用动能定理解决。 5.质量为质量为m的小球在水中受的浮力为常力的小球在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，当它从静止开始沉降时， 受到水的粘滞阻力位受到水的粘滞阻力位f=kV(k为常数为常数)，求小球在水中竖直沉降的速度，求小球在水中竖直沉降的速度 V与时间与时间t的关系的关系? 解：解： mg F R O X 选小球为研究对象，分析受力选小球为研究对象，分析受力 建立图示坐标系。建立图示坐标系。 由牛二律有：由牛二律有： t V mmaRFmgF d d t V mkVFmg d d )(: 即即 根据初始条件，可有：根据初始条件，可有： V V t t kVFmg V m 0 0d )( d tkVFmg k m kVFmg kVFmg k m V V V V 00 )ln( )(d k Fmg AeAV VAt m k )( 0 6.一匀质链条总长为一匀质链条总长为l，质量为，质量为m，放在桌面上并使其下垂，下垂端，放在桌面上并使其下垂，下垂端 的长度为的长度为a，设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为，设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 ，令链条由静止，令链条由静止 开始运动，则：开始运动，则： 到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多 少功？少功？ 链条离开桌面式的速率是多少链条离开桌面式的速率是多少? a l a x O 解：解：(1)建坐标系如图建坐标系如图 l xl mgf l a l a f xxl l mg rfAd)(d 22 )( 2 ) 2 1 ( al l mg xlx l mg l a 当链条下垂当链条下垂x时所受的摩擦力大小为：时所受的摩擦力大小为： 则摩擦力的功为：则摩擦力的功为： x l x 对链条应用动能定理：对链条应用动能定理： 前已得出：前已得出： 2 0 2 2 1 2 1 mVmVAAA fG 2 0 2 1 0mVAAV fG l almg x l x mgrGA l a l a G 2 )( dd 22 l almg Af 2 )( 2 2 222 2 1 2 )( 2 )( mV l almg l almg 2 1 222 )()(:alal l g V 得得 (2) 链条离开桌面时的速率是多少？链条离开桌面时的速率是多少？ a l a x O x l x 工科大学物理练习工科大学物理练习 之之二二 一、选择题：一、选择题： 1.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度以角速度 按图示方向转动，按图示方向转动， 若如图所示情况，将两个大小相等方向相反但不在同一直线的力若如图所示情况，将两个大小相等方向相反但不在同一直线的力F 沿盘面同时作用到盘上，则盘的角速度沿盘面同时作用到盘上，则盘的角速度 ：(A) 必然增大必然增大 JM 0 M O F F 1题图题图 2.质量为质量为m的小孩站在半径为的小孩站在半径为R的水平平台边缘上，平台可以绕通过的水平平台边缘上，平台可以绕通过 其中心的竖直光滑轴自由转动，转动惯量为其中心的竖直光滑轴自由转动，转动惯量为J，开始时平台和小孩，开始时平台和小孩 均静止，当小孩突然以相对地面为均静止，当小孩突然以相对地面为V的速率在台边缘沿顺时针转向的速率在台边缘沿顺时针转向 走动时，此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为走动时，此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为 ： (A) ，逆时针，逆时针)( 2 R V J mR 角动量守恒角动量守恒 3.光滑的水平桌面上光滑的水平桌面上,有一长为有一长为2L质量为质量为m的匀质细杆的匀质细杆,可绕过其中点可绕过其中点 且垂直于杆的竖直光滑固定轴且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动自由转动,其转动惯量为其转动惯量为mL2/3,起初起初 杆静止杆静止,桌面上有两个质量均为桌面上有两个质量均为m的小球的小球,各自在垂直于杆的方向上各自在垂直于杆的方向上, 正对着杆的一端正对着杆的一端,以相同速率以相同速率V相向运动相向运动,当两小球同时与杆的两个端当两小球同时与杆的两个端 点发生完全非弹性碰撞后点发生完全非弹性碰撞后,与杆粘在一起转动与杆粘在一起转动,则这一系统碰撞后的则这一系统碰撞后的 转动角速度应为转动角速度应为 ：(A) 2V/3L角动量守恒角动量守恒 )2 3 1 (2 22 mlmlmVl l V 7 6 2 2 2 22 7 6 49 36 3 7 2 1 2 1 mV l V mlJEk 222 0 2 1 2 1 mVmVmVEk 2 0 7 1 mVEEE kkk V m o V m l l 3题图题图 二、填空题：二、填空题： 1.飞轮绕中心垂直轴转动飞轮绕中心垂直轴转动,转动惯量为转动惯量为J,在在t=0时角速度为时角速度为 0,此后飞此后飞 轮经历制动过程轮经历制动过程,阻力矩阻力矩M的大小与角速度的大小与角速度 的平方成正比的平方成正比,比例系数比例系数 为大于零的常数为大于零的常数K,当当 = 0/2时时,飞轮的角加速度飞轮的角加速度 =， 从开始制动到所经历的时间从开始制动到所经历的时间t = . Jk4/ 2 0 0 / kJ JkJM 2 2/ 0 t Jk d d 2 2.一长为一长为l的轻质细棒，两端分别固定质量为的轻质细棒，两端分别固定质量为m和和 2m的小球如图，此系统在竖直平面内可绕过中点的小球如图，此系统在竖直平面内可绕过中点 O且与棒垂直的水平光滑固定轴且与棒垂直的水平光滑固定轴(O轴轴)转动。开始转动。开始 时棒与水平成时棒与水平成60角并处于静止状态。无初转速角并处于静止状态。无初转速 地释放以后，棒、球组成的系统绕地释放以后，棒、球组成的系统绕O轴转动，系轴转动，系 统绕统绕O轴转动惯量轴转动惯量J= ，释放后，当棒转到，释放后，当棒转到 水平位置时，系统受到的合外力矩水平位置时，系统受到的合外力矩M= ， 角加速度角加速度 =。 m2 m o l 60 2题图题图 2 2 2 2 2 )(2)( ll ii mm rmJ 2 4 3 ml mgl 2 1 l g 3 2 JM RmgmgrFM)2( 3.一个能绕固定轴转动的轮子，除受到轴承的恒定摩擦力矩一个能绕固定轴转动的轮子，除受到轴承的恒定摩擦力矩Mr外外,还还 受到恒定外力矩受到恒定外力矩M的作用的作用,若若M=40N m，轮子对固定轴的转动惯量，轮子对固定轴的转动惯量 为为J=20Kg m2，在，在t=10s内，轮子的角速度由内，轮子的角速度由 0=0增大到增大到 =15rad/s, 则则Mr= 。MN10 JMM r t 4.如图如图,一静止的均匀细杆，长为一静止的均匀细杆，长为L质量为质量为M，可绕通过杆的端点且，可绕通过杆的端点且 垂直于杆长的光滑固定轴垂直于杆长的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量为在水平面内转动，转动惯量为ML2/3， 一质量为一质量为m、速率为速率为v的子弹在水平面内沿与杆垂直的方向射入并穿的子弹在水平面内沿与杆垂直的方向射入并穿 出杆的自由端，设刚穿出杆时子弹的速率出杆的自由端，设刚穿出杆时子弹的速率 为为v/2，则此时杆的角速度为，则此时杆的角速度为. ML mv 2 3 角动量守恒角动量守恒 o v M 4题图题图 v 2 1 5.在一水平放置的质量为在一水平放置的质量为m长度为长度为l的均匀细棒上，套着一质量也为的均匀细棒上，套着一质量也为 m的钢珠的钢珠B（可看作质点），钢珠用不计质量的细线拉住，处于棒（可看作质点），钢珠用不计质量的细线拉住，处于棒 的中点位置，棒和钢珠所组成的系统以角速度的中点位置，棒和钢珠所组成的系统以角速度 0绕绕OO轴转动，如轴转动，如 图，若在转动过程中细线被拉断图，若在转动过程中细线被拉断,在钢珠沿棒滑动过程中，该系统转在钢珠沿棒滑动过程中，该系统转 动的角速度动的角速度 与钢珠离轴的距离与钢珠离轴的距离x的函数关系为的函数关系为. )3(4/7 222 0 xll o l m 5题图题图 B o 0 m l 2 1 0 JJ 2 2 2 3 1 )( l mmlJ 22 3 1 mxmlJ 6.圆盘形飞轮圆盘形飞轮A的质量为的质量为m半径为半径为r，最初以角速度，最初以角速度 0转动，与转动，与A共轴共轴 的圆盘形飞轮的圆盘形飞轮B的质量为的质量为4m半径为半径为2r，最初静止，如图，最初静止，如图.若两飞轮啮若两飞轮啮 合后，以同一角速度合后，以同一角速度 转动，则：转动，则： = ，啮合过程中机械能，啮合过程中机械能 的损失为的损失为。 17/ 0 22 0 17 4 rm 6题图题图 r B r2 A 0 201 JJ 2 2 1 1 mrJ 22 2 1 2 8mrmrJ 角动量守恒角动量守恒 又：又： 2 01 2 1 1 JE 2 2 2 1 2 JE 12 EEE 三、计算题：三、计算题： 1.以以30N m的恒力矩作用在有固定轴的飞轮上，在的恒力矩作用在有固定轴的飞轮上，在10s内飞轮的转速内飞轮的转速 由零增大到由零增大到5rad/s，此时移去该力矩，飞轮因摩擦力矩的作用经，此时移去该力矩，飞轮因摩擦力矩的作用经90s 而停止，试计算此飞轮对其固定轴的转动惯量。而停止，试计算此飞轮对其固定轴的转动惯量。 解：解： t t 0 2 1 rad/s5 . 0 10 5 2 2 rad/s 18 1 90 5 2 JMr 1 JMM r 2 mKg54 J 2. 一轻绳跨过两个质量均为一轻绳跨过两个质量均为m半径均为半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的的均匀圆盘状定滑轮，绳的 两端分别挂着质量为两端分别挂着质量为2m和和m的重物，如图，绳与滑轮间无相对滑动，的重物，如图，绳与滑轮间无相对滑动， 滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2，将由两个定滑轮，将由两个定滑轮 以及质量为以及质量为2m和和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度 和两滑轮之间绳内的张力和两滑轮之间绳内的张力 解：解： 1 T gm1 gm2 2 T gM1 1 N 1 T 3 T gM2 2 N 2 T 3 T 1 2 1 a 2 a 分析受力，设定各物的加速分析受力，设定各物的加速 度方向，如图度方向，如图 物块：物块：2222 amTgm 1111 amgmT 滑轮：滑轮： 113 JrTrT 132 JrTrT 连带条件：连带条件： 11 ra 22 ra aaa 21 :且且 物块：物块：2222 amTgm 1111 amgmT 滑轮：滑轮： 113 JrTrT 232 JrTrT 1 T gm1 gm2 2 T gM1 1 N 1 T 3 T gM2 2 N 2 T 3 T 1 2 1 a 2 a 11 TT 22 TT 33 TT ga 4 1 mgT 8 11 3 3. 如图如图,一均匀细杆长为一均匀细杆长为l，质量为，质量为m，平放在摩擦系数为，平放在摩擦系数为 的水平桌的水平桌 面上面上,设开始时杆以角速度设开始时杆以角速度 0绕过中心绕过中心O且垂直于桌面的轴转动且垂直于桌面的轴转动,试求：试求： 作用在杆上的摩擦力矩作用在杆上的摩擦力矩; 经过多长时间杆才停止转动。经过多长时间杆才停止转动。 解：解： l O 0 rd r gm d Nd 在距轴为在距轴为r处取一微元处取一微元dr 则其质量为：则其质量为： dm = m/L dr 此微元所受的摩擦力矩元为：此微元所受的摩擦力矩元为： rr l mg rgr l m rgmM f dddd 作用在细杆上的总摩擦力矩为：作用在细杆上的总摩擦力矩为： L ff MM 0 d 2/ 0 d2 L rr l mg mgl 4 1 方向：方向：与初始角速度方向相反与初始角速度方向相反 l g ml mgl J M JM f f 3 2 12 1 4 1 t t 0 g l t 3 00 或采用角动量定理：或采用角动量定理： 00 0 JJtM f 4. 质量为质量为m1长为长为l的均匀细杆，静止平放在滑动摩擦系数为的均匀细杆，静止平放在滑动摩擦系数为 的水平的水平 桌面上，它可绕通过其端点桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动，另且与桌面垂直的固定光滑轴转动，另 有一水平运动的质量为有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于杆与杆的另一端的小滑块，从侧面垂直于杆与杆的另一端 A相碰撞，设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后的速度分别为相碰撞，设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 和和，方向如图，求碰撞后从细杆开始转动到停止转动的过程所，方向如图，求碰撞后从细杆开始转动到停止转动的过程所 需的时间。需的时间。 解：碰撞过程，角动量守恒：解：碰撞过程，角动量守恒： 1 V 2 V O A l 1 m 2 m1 V 2 V 0 2 12212 3 1 lmlVmlVm lm VVm 1 212 0 )(3 转动过程，只有阻力矩转动过程，只有阻力矩(摩擦力矩摩擦力矩)做功，摩擦力矩大小为：做功，摩擦力矩大小为： lll f glmxx l gm gxx l m xgmM 0 1 1 0 1 0 1 2 1 ddd 方法一：方法一： l g lmglmJM f 2 3 3 1 2 1 2 11 t 0 0 0已求已求 gm VVm t 1 212 )(2 方法二：方法二： 摩擦力矩摩擦力矩Mf为恒力矩，采用角动量定理：为恒力矩，采用角动量定理： 2 1 0 3 1 0dlmtM t f 5. 如图，滑轮转动惯量为如图，滑轮转动惯量为0.01Kg m2，半径为，半径为7cm，物体的质量为，物体的质量为 5Kg，由一细绳与劲度系数，由一细绳与劲度系数k=200N m-1的弹簧相连，若绳与滑轮间的弹簧相连，若绳与滑轮间 无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求： 当绳拉直、弹簧当绳拉直、弹簧 无伸长时使物体由静止而下落的最大距离。无伸长时使物体由静止而下落的最大距离。 物体的速度达最大物体的速度达最大 值时的位置及最大速率。值时的位置及最大速率。 解法一：解法一： m k J mg T gm T kxF N 2 2 1 0kxmghE xh m49. 0 2 k mg x 对对m分析：当分析：当mg-T0 时加速下降，当时加速下降，当mg-TR2处各点的场强处各点的场强 解：以解：以O为心半径为为心半径为R作封闭高斯球面作封闭高斯球面 o1 R 2 R r rR2处：处：) 3 4 3 4 ( 1 Gause4d 3 1 3 2 00 2 RR q rESE i 2 3 1 3 2 0 3 r RR E 径向径向 2.两无限长同轴圆柱面，半径分别为两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和和R2(R1R2处处 解：作同轴半径为解：作同轴半径为r高为高为h的封闭高斯面的封闭高斯面 1 R2 R h rrR2处：处： ErhSESE 2dd 侧侧侧侧下下上上 00 hqi r E 0 2 在图示情况，方向沿径向向外在图示情况，方向沿径向向外 0 0 d 00 E q SE i 3.两半径分别为两半径分别为R1和和R2(R1R2： 0d 2 R r P rEU 4.一半径为一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为的带电球体，其电荷体密度分布为 (q为一正的常数为一正的常数)。试求：。试求： 带电球体的总电量；带电球体的总电量； 球内、外各点球内、外各点 的电场强度；的电场强度； 球内、外各点的电势球内、外各点的电势. )( 4 Rr R rq 解：解： 球内取半径为球内取半径为r厚度厚度dr的球壳的球壳 4 3 2 4 d4 d4dd R rqr rr R rq Vq q R rqr qQ R V 0 4 3d 4 d 作半径为作半径为r的同心高斯球面的同心高斯球面 rR： 4 0 4 0 4 3 00 2 d41 4d R rq R rqrq ErSE r i 4 0 2 4R rq E (方向沿径向向外方向沿径向向外) 2 0 00 2 4 4d r q E qq ErSE i (方向沿径向向外方向沿径向向外) 取取，则：，则：0 r U rR： （球内各点）（球内各点） )4( 12 d 4 d 4 d 3 3 0 2 0 4 0 2 R r R q r r q r R rq rEU R R rr r q r r q rEU rr0 2 0 4 d 4 d 5.电量电量q均匀分布在长为均匀分布在长为2l的细杆上，的细杆上， 求在杆外延长线上与杆端求在杆外延长线上与杆端 距离为距离为a的的P点的电势；点的电势； 由场强和电势的微分关系求场强由场强和电势的微分关系求场强 解：解： 取图示坐标。取图示坐标。 取微元取微元dx，则：，则： P a x o x xd x l q qd 2 d l PP P xal x l q xal q UU 2 0 00 2 d 242 d 4 1 d la a l q xla l q l 2 ln 8 )2ln( 8 0 2 0 0 UE 由上知，取图示坐标，由上知，取图示坐标，P为任意点时电势为：为任意点时电势为： ) 2 1ln( 8 0 x l l q UP P xo x UE 由上知，取图示坐标，由上知，取图示坐标，P为任意点时电势为：为任意点时电势为： ) 2 1ln( 8 0 x l l q UP )2( 1 4 ) 2 ( 28 0 2 0 lxx q x l lx x l q x U E P x P xo x 0 yz EE 令令x=a，则题中所给场点，则题中所给场点x=a，因而：，因而： i laa q iEE PxP )2( 1 4 0 工科大学物理练习工科大学物理练习 之之五五 一、选择题：一、选择题： 1.在一个带电量为在一个带电量为+q的外表面为球形的空腔导体的外表面为球形的空腔导体A内，放有一带电内，放有一带电 量为量为+Q的带电导体的带电导体B，则比较空腔导体，则比较空腔导体A的电势的电势UA和和 导体导体B的电势的电势UB时，可得以下结论时，可得以下结论 ：(B) UA R1)，分别带有电荷，分别带有电荷q1 和和q2，两者电势分别为，两者电势分别为U1和和U2（设无穷远处为电势零点），将二球（设无穷远处为电势零点），将二球 壳用导线连接起来，则它们的电势为：壳用导线连接起来，则它们的电势为：(A) U2 1 q 2 q 未连接未连接 1 q 1 q 未连接时未连接时,R1带带q1,R2内表面有感应的内表面有感应的-q1,外表面有感应的外表面有感应的q1和原本的和原本的q2 22 2 11 d;d 21 RR R RR lEUlEU 连接后等势连接后等势,电荷分布于外表面，只有电荷分布于外表面，只有R2外表面的外表面的q1+q2 2 d R lEU 6. 如图，当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为如图，当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m带带 电量为电量为+q的质点，平衡在极板间的空气区域中。此后，若将平行板的质点，平衡在极板间的空气区域中。此后，若将平行板 电容器中的电介质抽去，则该质点：电容器中的电介质抽去，则该质点：(C) 向上运动向上运动 mq Q Q mg F 初始时：初始时： mgqEFmg 即：即： ab b a ab UElEU d 两电容器并联：两电容器并联：21 CCC 12 抽去电介质后：抽去电介质后： 11 1 CC C ab U Q C 不变不变 ab U ab E F 二、填空题：二、填空题： 1.一导体球外充满相对介电常数为一导体球外充满相对介电常数为 r的均匀电介质，若测得导体表的均匀电介质，若测得导体表 面附近场强为面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度，则导体球面上的自由电荷面密度 为为.E r 0 E E E r rr 0 0 0 1 真空时：此处有真空时：此处有 0 0 E 2.如图，两同心金属球壳，它们离地球很远，内球壳用细导线穿过如图，两同心金属球壳，它们离地球很远，内球壳用细导线穿过 外球壳上的绝缘小孔与地连接，外球壳上带有正电荷外球壳上的绝缘小孔与地连接，外球壳上带有正电荷+Q，则内球壳，则内球壳 上带电为上带电为。 Q R R 2 1 1 R 2 R Q 设内球壳带电设内球壳带电q，则外壳内、外表面感应出，则外壳内、外表面感应出-q、+q q q q (1)不接地：不接地： 2 2 1 d 4 d 4 d 2 0 2 0 2 2 11 1 R R R r r Qq r r q rEU )( 4 1 )( 4 1 2102210 R Q R q R Qq R q R q (2)接地，则接地，则U1=0，可知：，可知： Q R R q R Q R q 2 1 21 0 3.如图，一个带电量为如图，一个带电量为-q的点电荷，位于一原来不带电的金属球外，的点电荷，位于一原来不带电的金属球外， 与球心的距离为与球心的距离为d，则在金属球内，与球心相距为，则在金属球内，与球心相距为l的的P点处，由感点处，由感 应电荷产生的场强为应电荷产生的场强为。 i ld q E 2 0 )( 4 1 o q d P l x (1)静电平衡时，球等势，则静电平衡时，球等势，则-q的场对球的场对球O的电势：的电势： 感应感应 UUU q 0 d 4 1 0 R Q U 感应感应 q UU d q U q 0 4 1 (2)静电平衡时，球：静电平衡时，球： q EEE 0 内内 i x q x q UEE qq 2 00 4 1 ) 4 1 ()( P点有：点有：ldx i ld q E 2 0 )( 4 1 x是是-q到到o的距离。此处的距离。此处x轴向左，因而电轴向左，因而电 势表达式的势表达式的x与实际与实际x轴的轴的x方向相反方向相反 4.两个电容器两个电容器1和和2，串联后用稳压电源充电，在不切断电源的情况，串联后用稳压电源充电，在不切断电源的情况 下，若把电介质充入电容器下，若把电介质充入电容器1中，则电容器中，则电容器2上的电势差上的电势差 增大增大 ；电；电 容器容器2极板上的电量极板上的电量 增大增大 。 4.两个电容器两个电容器1和和2，串联后用稳压电源充电，在不切断电源的情况，串联后用稳压电源充电，在不切断电源的情况 下，若把电介质充入电容器下，若把电介质充入电容器1中，则电容器中，则电容器2上的电势差上的电势差 增大增大 ；电；电 容器容器2极板上的电量极板上的电量 增大增大 。 1 C 2 C U UU 21 UUU 1 1 1 U U U r 22 U U 5.如图，电容如图，电容C1、C2、C3已知，电容已知，电容C可调，当调节到可调，当调节到A、B两点电两点电 势相等时，电容势相等时，电容C=。 1 C2 C 3 CC A B A、B两点电势相等时：两点电势相等时： 1 3 1 3 3 3 1 1 31 C C q q C q C q UU 1 q 1 32 C CC C 1 q 3 q 3 q 21 33 2 1 2 C C q q C q C q UU C 1 32 C CC 三、计算题：三、计算题： 1. 半径为半径为R1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半 径分别为径分别为R2、 R3，使内球带电，使内球带电q，球壳带电，球壳带电Q，试求：，试求： 电势分布电势分布 的表示式，左图表示的表示式，左图表示Ur关系曲线；关系曲线； a) 用导线连接球和球壳后的用导线连接球和球壳后的 电势分布；电势分布；b) 外壳接地后的电势分布外壳接地后的电势分布 解解：(1) 球壳内、外表面感应球壳内、外表面感应+q、-q，由，由Gause可得：可得： 2 R 3 R 1 R q q q Q 0 2 0 3 32 0 2 0 21 1 4 , 0, 4 , 0, r r Qq ERr ERrR r r q ERrR ERr R1球等势，则当球等势，则当r R1时，有：时，有： 30210 1 1 4 0) 11 ( 4 0d 3 3 2 2 1 1 R Qq RR q lEU R R R R R R rr 当当R1rR2时，有：时，有： R1球等势，则当球等势，则当r R1时，有：时，有： 3020 2 1 4 0) 11 ( 4 d 3 3 2 2 R Qq Rr q lEU R R R R rr 当当R2rR3时球壳等势，有：时球壳等势，有： 30 3 1 4 d 3 3 R Qq lEU R R rr 当当r R3时，有：时，有： r Qq lEU r 0 4 4 d o r U 1 R 1 U 2 R 3 U 3 R 导线连接球与球壳后，二者成为等势体，带电导线连接球与球壳后，二者成为等势体，带电q+Q，且分布于，且分布于 外球壳面，内部场强为零外球壳面，内部场强为零 当当rR3时：时： 30 321 1 4 d 3 3 R Qq lEUUU R R rr 当当r R3