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文档简介
第 七 章 弯曲变形,7.2 挠曲线的近似微分方程,7.3 用积分法求挠度和转角,7.4 用叠加法求挠度和转角,第七章 弯曲变形,7.5 梁的刚度计算,7.1 概述,7.6 简单超静定梁,7.7 梁的弯曲应变能,7.8 提高弯曲刚度的措施,弯曲变形,7-1 概述,若变形过大,会引起较大的振动,破坏起吊工作的平稳性。,一、工程中的弯曲变形问题,4,弯曲变形,若变形过大,不仅会影响齿轮的啮合和轴承的配合,使传动不平稳,磨损加快,而且还会严重地影响加工精度。,又如,车床主轴:,5,弯曲变形,又如,如图所示轮轴:,若轮轴的变形过大,会使轮子不能正常啮合,影响工作的平稳性等。,6,弯曲变形,但有时又有相反要求,要求构件有适当变形,才能符合使用要求。,如汽车叠板弹簧,要求产生较大变形,才能在车辆行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。,此外,弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的求解。,二、弯曲变形的量度挠度和转角,原为直线的轴线AB弯曲成光滑而连续的曲线,,该曲线称为该梁的挠曲线。,在平面弯曲的情况下,挠曲线是位于载荷平面内的平面曲线。,竖直位移 w 称为挠度,取向上为正。,横截面的转角,和挠曲线在该截面形心处的切线与x 轴的夹角相等。,小变形:,弯曲变形,挠曲线方程:,任意截面形心C,三位移:,水平位移x,,竖直位移w,角位移,,忽略,= w,角位移 称为转角,逆时针方向为正。,弯曲变形,7.2 挠曲线的近似微分方程,前一章已得到:,纯弯曲梁,横力弯曲梁(近似),任意曲线曲率,或,则有,9,弯曲变形,例7-2-1 画出下列梁的挠曲线大致形状。,A,m,m,C,B,L,L,解: 建立坐标系并作弯矩图,AB段:, w上凸,BC段:,同时B处须满足连续光滑条件,即曲线与直线在B点相切。,边界条件:, w=0,10,弯曲变形,例7-2-2 等截面直梁,其挠曲线 ,长度为l,确定梁的载荷、支撑情况。,故可确定其为悬臂梁。,解: 作弯矩图、剪力图,边界 条件,转角方程,挠度方程,C、D 为积分常数;由边界条件和连续性条件确定。,边界条件:,固定端:w0;0;,铰支座:w0;,弯曲变形的对称点:0。,连续性条件: 挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个值。,弯曲变形,7-3 用积分法求梁的变形,例7-3-1用积分法求挠度方程和转角方程,并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。,解:(1) 求支反力,列弯矩方程,(2) 建立挠曲线近似微分方程,并积分,(3) 利用边界条件确定积分常数,弯曲变形,(5) 求最大值,(4) 求转角方程、挠度方程,弯曲变形的对称点:0。,弯曲变形,例7-3-2 用积分法求C截面的转角和挠度,EI为常量。,解:(1) 分段写弯矩方程,(2) 分段建立挠曲线近似微分方程,并积分,弯曲变形,(3) 确定积分常数,边界条件:,连续性条件:,(4) C截面的挠度和转角,弯曲变形,AC段:,AB段:,叠加原理:当梁上同时作用几个载荷时,梁的某一参量(反力、内力、应力、变形)等于每个载荷单独作用时所引起的该参量的代数和。,叠加法:应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。 前提条件:小变形,材料服从虎克定律。,* 表7-1,弯曲变形,7-4 用叠加法求梁的变形,=,+,例7-4-1 用叠加法求C点挠度。,解: 简单载荷引起的变形,弯曲变形, 叠加,表7.1第7栏,表7.1第9栏,F,例7-4-2 用叠加法求C点挠度。,解:积分法,弯曲变形,表7.1第8栏,例7-4-3 用叠加法求C截面的转角和挠度。,a,l,A,B,F,C,解:(1) 假设CA段为刚性,研究简支梁AB的变形所引起的C截面的转角和挠度,A,B,C,(2) 假设AB段为刚性,外伸段CA看作悬臂梁:,表7.1第2栏,表7.1第5栏,(3) 叠加法求C截面的挠度和转角,弯曲变形,例7-4-4 等截面刚架A端的水平位移xA 和竖直位移yA。,b,EI,C,EI,P,A,B,等价,等价,解:(1) 刚化AB段:,(2) 刚化BC段:,弯曲变形,刚化AB:,刚化BC:,(3) 叠加:,*逐段刚化法,弯曲变形,2a,A,B,q,例7-4-5 用叠加法求中点C挠度和梁端截面B的转角。,C,D,E,2l,解: C为对称点,故C截面的转角为0。,表7.1第2栏,在RB作用下:,表7.1第4栏,在 q 作用下:,弯曲变形,一、刚度条件:,叠加:,弯曲变形,2a,A,B,q,C,D,E,2l,7-5 梁的刚度计算,例7-5-1 一空心圆杆,内外径:d=40mm、D=80mm,E=210GPa,C点的w/L=0.0001,B点的 =0.001弧度,试核此杆的刚度。,+,弯曲变形,解:查表求简单载荷变形, 叠加,=,校核刚度,弯曲变形,刚度条件满足。,26,一、基本概念,弯曲变形,2 超静定问题:单纯依靠静力平衡方程不能确定出全部未知力(支反力、内力)的问题。,1 静定问题:单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力(支反力、内力)的问题。,3 超静定次数 n :n = 未知力数独立的平衡方程数,7-6 简单超静定梁,27,1 静定结构除荷载外,其他因素如温度改变、支座移动、制造误差、材料收缩等都不引起内力,即静定结构无装配应力、无温度应力等;而超静定结构中,任何因素都可能引起内力。,2 静定结构与结构的材料性质和截面尺寸无关,而超静定结构与结构的材料性质和截面尺寸有关。,二、 超静定结构的特性,3 超静定结构的刚度比相应的静定结构要大。,4 超静定结构在多余联系破坏后,仍然能维持几何不变性,而静定结构在任一联系破坏后就变成了几何可变体系。,弯曲变形,求解弯曲超静定问题时,首先要选择原超静定结构的静定基,得其相当系统。,28,=,弯曲变形,q0,l,A,B,例7-7-1 求支座B的反力。,(2)变形协调方程:,解:(1) 确定静定基,得 原结构的相当系统:,+,(3)物理方程,(4)补充方程,变形比较法,29,(2)变形协调方程:,解:(1)确定静定基,得原结构的相当系统:,例7-7-2 求BC杆的内力。,+,=,弯曲变形,30,(3)物理方程,(4)补充方程,等价,q0,+,=,弯曲变形,31,弯曲变形,例7-7-3 如图所示双梁系统,弹簧刚度K,上下梁的抗弯刚度均为EI,求(1)弹簧受力大小,(2)当P/(q0l) =?时弹簧不受力。,l/2,l/2,l/2,l/2,解:(1)确定静定基,得原结构的相当系统:,32,弯曲变形,(5)令F=0,,(2)变形协调方程:,(3)物理方程,(4)补充方程,F,下梁,F,上梁,得P/q0l=5/8,33,弯曲变形,例7-7-4 两端固定梁,求内力。,B,A,C,F,a,b,l,二次超静定结构,(2) 变形协调方程:,解:(1)确定静定基,得原结构的相当系统:,(3) 物理方程,34,弯曲变形,(4)补充方程,B,A,C,a,b,l,(5)叠加法求内力,F,35,一、,弯曲应变能:,应变能等于外力功。不计剪切应变能,弯曲变形,曲率,7-7 梁的弯曲应变能,36,例7-8-1 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。,解:外力功等于应变能,利用对称性,得:,思考:分布荷载时,可否用此法求C点位移?,弯曲变形,挠曲线近似微分方程:,转角方程,挠度方程,C、D 积分常数;由边界条件和连续性条件确定。,弯曲刚度条件:,弯曲正应力强度条件:,弯曲变形,7-8 提高弯曲刚度的措施,一、选择合理的截面,对于面积相等的不同形状的截面,
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