人教版九年级数学第22章二次函数22.1 二次函数讲义

合作探究探究点1 二次函数的概念情景激疑我们知道形如是常数,k0)的式子是一次函数，那么什么样的函数是二次函数呢?判断二次函数又需要消足哪些条件?知识讲解一般地，形如是常数,a0)的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的次项系数、一次项系数和常数项，如等都是二次函数。（1）是常数,a0)叫做二次函数的-般式任何一个二次函数的解析式都可以化为是常数,a0)的形式. (2)在二次函数是常数,a0)中，a必須不等于O,因为若a=0的话，此式子则变为的形式，就不是二次函数了. (3)在二次函数是常数,a0)中,若y=0.则二次函数可以转化为一元二次方程典例剖析例1 下列哪些函数是二次函数?解析 判断一个函数是不是二次函数，先把关系式化简整理，再分三个步骤来判断:(1)看它的等号两边是否都是整式，如果不都是整式，则必不是二次函数:(2)当它的等号两边都号林式时，再看它是否含有自变量的二次式，如果含有自变量的二安式，那就可能是二次函数，否则就不是:(3)看它的二次项系数是否为0,如果不为0，那就是二次函教.只要按上述三步来分析。即可作出正确判断. 答案 是二次函数.不一定是二次函数，只有当a0时，才是二次函数不是整式，故不是二次函数，易错警示二次涵数关系式的等号两边都是整式.类题突破1 下列的数中:因为x的次数都是2.所以和都是二次函数，这样说对吗?如果不对，说明理由。 答案说法不对，不是二次函数，因为等号右边不是整式，是二次函数。探究点2实际问题中的二次函数关系知识讲解由实际问题列二次函数关系式，一般分四步完成;一找:根据实际问题的意义，找出等量关系;二列:由等量关系列出函数关系式;三化:把关系式化为二次函数的一般形式;四定:根据实际意义，确定自变量的取值范围。典例剖析例2如图，50m长的护栏全部用于建造块靠墙(墙长5m)的长方形花园，写出长方形花园的面积y()与它与墙平的边的长x(m)之间的函数关系式，并指出x的取值范围。解析 长方形花园与墙平行的一边长为xm，则与墙垂直的一边长为，从而得出花园的面积之间的函数关系式. 答案,其中0x25类题突破2 如图，在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，剩余部分为绿地，请写出绿地面积与路宽x(m)之间的函数关系式。 答案 即 点拨绿地面积等于广场的面积减去两条小路的面积之和再加上一个与小路等宽的正方形的面积，类期实破园某市一家电子计算器专实店每只计算器进价13元，传价20元，多买优惠.凡是一次买10只以上的，每多买1只,所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10(20-10)=1（元)，因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元。 (1)求一次至少买多少只，才能以最低价购买； (2)写出该专卖店当一次销售x(只)时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 答案 (1)设一次购买x只.才能以最低价购买，则有0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50.答:一次至少买50只，才能以最低价购买。点拨 根据购买的数量的不同有不同的优惠方法，故本题是一个分段函数，注意自变量的取值范围。重点难点重难点1 二次函数概念的应用形如的函数叫做二次函数，二次函数自变量的取值范围的任意实数，但在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义。对于二次函数的定义可从以下方面理解：（1） 二次函数的形式是关于自变量x的二次整式，其中二次项系数不为0，如果二次项系数为0，则函数就成了一次函数或常函数。（2） 任何一个二次函数都可以化为的形式，是二次函数的一般形式，在一般形式中二次项系数必须不为零，而一次项系数，常数项可以为零，如函数都是二次函数。例1 已知函数（1） 当m为何值时，y是x的二次函数？（2） 当m为何值时，y是x的一次函数？解析 （1）当二次项系数时，原函数是二次函数；（2）当二次项系数且一次项系数时，原函数是一次函数，由此确定m的值。答案 （1）由解得。故当时，是二次函数。（2）由解得。 由解得m1,m2.所以m=-2因此，当m=-2时，=12x+1是一次函数。易错警示二次函数中二次项系数a0.类题突破1 当m为何值时，y=（m+2）是二次函数？答案 由得 。又m+20,即m-2,所以，当M=2时，y=(m+2)是二次函数。点拨 在二次函数的解析式中，隐含条件是a0，初学二次函数的同学，往往注意了二次函数中未知数的最高次数为2，而忽视了二次项系数不为0的条件。 重难点2求实际问题的函数表达式 对于一些实际问题，通过分析，找出两个变量之间的函数关系，并能正确地写出它们之间的函数关系式，是本章的重点，也路后面进一步学习二次函数有关内容的基础。同时，要能根据问题的实际意义，写出自变量的取值范围。对于自变量的取值范围，只要能正确写出即可，不要求写出求自变量取值范围的过程。在解决与实际生活有关的二次函数问题时，要特别往意自变量的取值范围、如人数、个数必须是整数等。例2 某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件。调查表明:单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件， 请写出每月的售该商品的利润y(元)与涨价后的单价x(元)间的函数关系式，(不要求写自变量的取值范围) 解析 由涨价后的单件利润与涨价后销售数量的乘积求得利润y.答案 y=(x-60)300-10(x-80) =(x-60)（300-10x+800) =(x-60)（1100-10x） 即y=.答：每月销售该商品的利润y(元)与涨价后的单价x(元)的函数关系式为y=. 类题突破2 某商场以每件30元的价格购一种商品，推销中发现:这种商品的销售量m(件)与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m=162-3x，试写出商场销售这种商品的销售利润y(元)与每件商品的销售价x(元)之间的函数关系(不要求写自变量的取值范围) 答案 y=(162-3x)(x-30) =答:销售这种商品的日销售利润y(元)与每件商品的销售x(元)之间的函数关系式为。方法提示有关利润问题，要掌握利润的公式：总利润=总数量每件的利润，即可解决问题。易错指导易错点1 忽略实际问题中自变量的取值范围例1 小林家有一段长为24米的篱笆，他想利用后院的东墙（墙的最大可用工度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花辅（如图所示），设AB边的长为x米，面积为S平方米，求S与x的函数关系式，若要使围成花圃的面积为45平方米，则AB的长应为多少米？错解 因为AB=x米，则BC=（24-3x）米，所以S=x（24-3x）=-3x+24x,当面积为45平方米时，所以要使花圃的面积为45平方米，AB的长应为5米或3米。错因分析：本题错在没有考虑自变量的取值范围， 本题中自变量的取值既受墙的长度限制，即24-3x10，又受篱笆墙的长度限制，即24-3x0，故计算出的结果中x=3应该舍去。正解 因为AB=x米，则BC=（24-3x）米，且24-3x10,即8.所以S=x（24-3x)=8),当面积为45平方米时，解得x=5或x=3，其中x=3不符合条件，应舍去。所以要使花圃的面积为45平方米，AB的长应为5米。纠错心得 一般情况下，二次函数自变量的取值范围是实体实数，而在实际问题中，自变量都有一定的取值范围，要注意根据题意进行取舍。易错点2 忽略二次函数的重要条件a0例2 已知函数是一个二次函数，求m的值。错解 根据二次函数