人教版九年级数学第24章圆24.4弧长和扇形面积讲义

合作探究探究点1 弧长公式知识讲解如果弧长为l，圆心角度数为n,Z圆的半径为R，则(1) 在弧长的计算公式中，n是表示10的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.(2)若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长.(3)题设未标明精确度的,可以将弧长用表示.(4)正确区分弧、弧的度数.弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不定相等,弧长相等的弧不定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.典例剖析例1 如右图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧.已知半径OA=60cm，AOB=1080，则管道的长度(即的长)为多少?(结果保留)解析 直接运用弧长公式求解.答案 设的长为lcm,R=60cm，n=1080,管道的长度为.类题突破1 如下图.RtABC中，ACB=90B=300.AC=1，若以A为圆心、AC为半径的弧交斜边AB于点D.则的长为 A. B. C. D.答案 B点拨 直接利用弧长公式进行计算.探究点2(高频考点) 扇形及其面积公式知识讲解(1)扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。(2)扇形的面积公式:设圆的半径为R,圆心角是n0的扇形面积为S扇形.则(其中l为扇形的孤长)典例剖析例2 如图，两个同心圆被两条半轻截得的的长为5,的长为7,AC=4.求阴影部分的面积。解析 阴影部分的面积等于两个扇形的面积之差.答案 设圆心角为n0，大圆与小的半径分别是为R1,R2则即阴影部分的面积为24.类题突破2 如图，扇形OAB的圆心角为900，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小哦关系怎样？答案 设两个半圆的另一个交点为C，如图，扇形OAB的半径为R，则P=S扇形OAB-2S平面OCA+Q=P和Q相等.点拨 假设出扇形的半径，再表示出半圆面积和扇形的面积，即可找到两部分面积间的关系.探究3（高频考点）圆锥的侧面积和全面积知识讲解(1)连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆维的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.(2)圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。(3)圆锥的全面职=圆锥的侧面积+底面积.注意 (1圆锥的母线长与展开后所得扇形的半径相等。(2) 圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等。典例剖析例3有 一直径为m的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是900的扇形ABC(如图).(1)求被剪掉的阴影部分的面积.(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少?(3)求圆锥的全面积.解析 阴影部分的面积是圆的面积减去一个圆心角为900的扇形的面积，解题关键是要求出扇形的半径。由弧长等于底面圆的周长可求出半径，答案 (1)如图。连接BC.A=90.BC为0的直径.在RtABC中，AB=AC.且AB2+AC2=，AB=AC=1.(2)设圆锥的底面半径为r.则BC的长为2r.(3)类题突破3如图，一个圆锥形粮仓顶盖,底面半径为5m,圆锥高为5m,要用铁皮做粮仓顶盖，需用多少铁皮?答案 根据题意，得0C=5,AC=5,在RtOCA中，又圆锥底面周长为25=10(m)，即扇形OAB的弧长为10m.S扇形=.答:需要铁皮50m2.点拨首先求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可.重点难点重难点1弧长公式的应用(1)在半径是R的圆中，因为3600的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2R.所以10的圆心角所对的弧长是，即，所以n0的圆心角所对的弧长为.(2)在弧长公式中，n表示10的圆心角的倍数，n和180都不带单位“0”，例如：圆的半径为20cm,计算300的圆心角所对的弧长时，不要错写成.(3)圆心角的单位若不全是“0”，则一定要先化为“0”，例如:35015，必须化成，再利用弧长公式计算.(4)对于公式中出现的三个量l.n，R.只要知道其中的两个量，就能求出第三个量，例1 (1)如下图，在ABC中，ACB=90B=15，以C为圆心、CA长为半径的圆交AB于点D.若AC=6.求的长；(2)一圆弧的圆心角为3000,它所对的弧长等于半径为6cm的圆的周长，求该弧所在的圆的半径。解析 (1)要求弧长，必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数，由题意知，只需求出ACD的度数即可，(2)本题考查弧长公式的灵活达用，已知n=300,l=26，将弧长公式变形求半径R即可.答案 (1)如图，连接CD.B=15，ACB=90，A=750.又CA-=CD.CDA=A=750.DCA=180-2A=300,的长=.(2)设该弧所在的圆的半径为R,由题意得.R=7.2(cm).规律总结(1)在进行弧长的有关计算时，常作出该弧所对的圆心角。(2)弧长公式中的三个量l,n.R,知道其中任意两个量，就可以求出第三个量。注意n参与计算时不带单位，1与R单位要一致.类题实破1 如图，O1分别与0的、半径OA,OB相切于点E，C，D，AOB=600,的长为4,求的长， 答案 如图，连接O1C.O1D.OE.OA.OB分别切01于C.D.01COA.O1DOB.C01D=3600-01CO-01DO-AOB=3600-900-900-600=1200.所对的圆心角为2400.又OE经过点O1.且OE平分AOB，设O的半径为R.O1的半径为r.在RtO1OC中.010C=300.001=201C.OE=301C,即R=3r.由弧长公式得,解得R=12，r=4,的长为.点拨 要计算的长，必须先求出它所对的圆心角的度数及01的半径.规律总结(1)连接圆心和切点构造直角三角形。能把未知量和已知量联系起来.(2)连接两圆的连心线是常见的辅助线.重难点2 利用扇形面积公式求阴影图形面积问题(1) 注意与弧长公式加以区別和联系.扇形面积公式与弧长公式可以由联系在一起. (2)-些求阴影面积问题，常常用割补法，把不规则圆形转化为规则的圆形来求面积. 例2 沈阳市某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”如下图所示，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为A.31cm2 B.72cm2 C.36cm2 D.72cm2解析 一个阴影部分的面积是以AC为直径的半圆减去弓形AMC的面积，AC=.AC为直径的半圆面积为，而.一个阴影部分的面积为.答案 C方法提示（1） 月牙形面积是以AC为直径的半圆面积减去弓形AMC的面积（弓形AMC即与弦AC围成的图形）.（2） 求弓形AMC的面积时。可用扇形OAC的面积减去RtAOC的面积。类题突破2 如下图，扇形OAB中，半径OA=6cm,点C 是OB的中点，AOB=1200，求阴影部分的面积。答案 如图，过点C作CDAO，交AO的延长线于D，OA=OB=6cm,C为OB的中点，OC=3cm. AOB=1200，COD=600，OCD=300.在RtCDO中，OD=OC. CD=.SAOC=AOCD=.又S扇形OAB=.S阴影=S扇形OAB-SAOC=答：阴影部分的面积为.点拨 要求阴影部分的面积，由于图形不规则，可转化为两规则图形的面积之差，即S阴影=S扇形OAB-SAOC方法提示组合图形的面积计算，应根据图形结构，把不规则图形转化为规则图形的和或差，再进行计算，一般情况下,S弓形=S扇形-S三角形，有时一个图形中的阴影是几个或几种图形的组合，要注意图形的分割与组合.重难点3 求圆锥的侧面积问题(1)圆锥的侧面展开图；沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平.其侧面展开图是一个扇形，如右图所示，圆锥侧面积的计算;在圆锥的侧面展开图中，其半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥的底面周长，设圆维的底面半径为r，母线长为l,则它的侧面积和全面积分别为:S圆=(3) 圆锥的全面积就是侧面积再加上底面圆的而积 例3 一个圆锥的高是10cm,侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积 解析 要求圆锥的侧面积，需知侧面展开图的半径和孤长(圆锥底面圆的周长).由于侧面展 开图是半圆，可得圆锥母线长与底面圆半径之间的关系，二者与圆锥的高可利用勾股定理,整体得底面半径的平方，代入公式即可. 答案 设圆锥的底面半径为r.母线长为1.因为圆锥的高为10cm,所以l2-r2=100.又因为侧面展开图是半圆.所以S扇形-S圆，即，所以l=2r,把l=2r代入到l2-r2=100,得r2=，所以圆锥的侧面积方法提示由“侧面展开图是半圆”，得1=2r,因此S侧=rl=2r2，问题转移到求r2，而r2的求解恰好利用勾股定理解决，把r2视为整体，先整体求出，后整体代入，这是一种数学思想。类题突破3 已知圆锥底面圆的半径为6cm,高为8cm,则转化圆锥的侧面积为A.48cm2 B.48cm2 C.120cm2 D.60cm2答案 D 点拨 先求出园锥的母线长为，所以.易错指导易错点1 在计算圆锥的侧面积时，混淆底面圆的半径和侧面展开扇形的半径导致错误例1已知圆锥的侧面展开图(即扇形)的圆心角为1800，圆锥的底面积为15cm2,求圆锥的侧面积.错解 设圆锥的底面半径为r,由S底=15得r2=15，r2=.则=7.5(cm2).错因分析错解在于误把底面半径当成了侧面展开图(即扇形)的半径了。 正解 设圆锥的底面积半径为r，扇形的半径为R,则有， 纠错心得 在解决有关圆锥及其侧面展开图的问题时，一定要认真审题，分清两个角(圆锥轴截面的顶角和侧面展开图的圆心角)及两个半径(圆锥的底面半径和侧面展开图的半径)，解题时最好是将圆锥的轴截面、底面和侧面展开图同时画出来.易错点2 弧长公式掌握不好导致出错例1