人教版八年级上册 第五讲等腰三角形的判定与性质 讲义（word版无答案）

第五讲等腰三角形的判定与性质一、知识精讲1.遇到等腰三角形时，常利用“三线合一”作辅助线，回避全等，简化证明过程2.一般的角度问题可直接利用内角和定理来求，对于较复杂的角度关系，一般用 方程的思想来处理3.在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形，从 而实现边角之间的转化若 AB =AC，DEAC，求证：BDE 为等腰三角形二、典例解析【例 1】如图，ABC中，D，E 在 AB上，且 D，E 分别是 AC，BC的垂直平分 线上一点（1）若CDE 的周长为 4，求 AB的长.（2）若ACB100，则DCE ；若ACB110，则DCE（3）若ACBa（90a180），则DCE .第 8 页【练 1】 ABC 中，AC的垂直平分线 DE交 AC于 E，交ABC的平分线于 D，DFBC于 F（1）求证： BC - AB = 2CF ;BCAB2BF（2）若ABC60，求ADE 的度数（3）若 ABC = 60 ，直接写出DAE 的度数【例 2】如图，D，E，F 分别为ABC边上一点，且 ADAF，BDBE（1）若C80，求EDF的度数.（2）若Ca，直接写出EDF的度数【练 2】如图，C为ABE 的边 BE上一点，且 ABAC，AB的垂直平分线交 AC于 D，且 ADBC，CECD（1）求BAC 的度数.（2）求CAE 的度数. 【例 3】已知ABC 中，ACBC，ACB90，D，E 分别为 AB，BC上一点，连 DE（1）如图 1，若CDE45，BEAD，求证：DCDE；（2）如图 2，在（1）的条件下，过 E 作 EFAB 于 F，求的值；（3）如图 3，过 E 作 EFBD 于 F，若 DCDE，求证：AB2DF【练 3】已知：如图，在ABC 中，ABC=2ACB，点 H是 BC中点，过点 H作 DHBC于 H且与 BA延长线相交于点 D.图（1）图（2）图（3）（1）图中存在连接两点的线段等于 DB,请画出此线段并说明理由.（2）如图（1），当B=45时，三条线段 AB、AD、BC 之间存在 BC=AB+2AD， 请给出证明.（3）如图（2），B=36时，三条线段 AB、AD、BC 之间又存在何种确定 的等量关系？请写出结论并证明.【例 4】如图所示，在ABC中，AB=AC，F是 AC上的点，在 BA的延长线上取一点 E使 AE=AF，连接 EF交 BC于点 D,求证：EFBC.【练 4】已知ABC是等边三角形，D为 AC上一点，延长 BC至 E，使 CEAD（1）如图 1，若 D是 AC的中点，求证：DBDE.（2）如图 2，若 D不是 AC的中点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由【例 5】已知：如图，等边ABC 中，D是线段 AB上的任意一点，E是 AB延长线上一点，CF平分ACE，ADF = 60.（1）求证：AD=DF；（2）若将上述条件中的“D 是线段 AB 上的任意一点”改为“D是 AB延长 线上的任意一点”，其余条件不变，则结论“AD=DF ”还成立吗?如果成立，请证 明：如果不成立，请说明理由. 【练 5】已知,如图,ABC是等边三角形,点 D为线段 CA延长线上的一动点, 点 E为射线 CB 上一动点,并且始终满足 AD=CE,（1）如图,当点 E 在线段 CB 上时,求证:DB=DE.（2）若点 E在线段 CB的延长线上,其他条件不变,试在下图中补全图形,并 猜想第（1）问的结论是否发生变化？判断并证明你的结论;（3）在（1）的条件下,若点 D、E 在运动时,恰好使 DE 平分BDC,则此时BDC= 。(直接写出答案).【例 6】 （1）如图 1，正方形 ABCD中，E是 BC边的中点，AEF=90，EF 交正方形外角的平分线 CF于 F点，判断线段 AE与 EF的数量关系，说明你的理 由；（2）如图 2，若点 E在 BC的延长线上，其它条件不变，线段 AE与 EF的 数量关系发生变化吗？若不变，说明你的理由，如变化，求出变化的范围；（3）如图 3，若点 E在 CB的延长线上，其它条件不变，线段 AE与 EF的 数量关系发生变化吗？说明你的理由.【练 6】已知ABC是等边三角形，点 P是 AC上一点，PEBC于点 E，交 AB于点 F，在 CB的延长线上截取 BD=PA，PD交 AB 于点 I.（1）如图 1，若 n = 1 ，则 , （2）如图 2，若EPD = 60，试求 n和的值.（3）如图 3，若点 P在 AC边的延长线上，则 n=3，其他条件不变，则三、课后练习1.如图，已知等边ABC.（1）若点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 BC 上，AN、CM 交于点 P，且 AMBN，则CPN的度数是 ；（2）若 M 在 AB 的延长线上，N 在 BC 的延长线上，且 AMBN，直线 CM交直线 AN 于 P，则CPN 的度数是 ，画出图形并证明你的结论；（3）在(2)的条件下，作 MGBC于G，若求 M在运动过程中，使CPN为等腰三角形时 n的值.2.已知等边三角形 ABC，E，D 分别是 AB，CB 上一点.（1）如图，若 E 在线段 AB 上（不与点 A，B 重合），且 ED=EC,求证 AE=DB；（2）若 E 是线段 AB 延长线上一点，BE=AB，ECD 为等腰三角形，请画 出图形，并求出EDC 的度数.3.在等边三角形 ABC 中.（1）点 E 在 AB上，点 D在 CB 的延长线上，且EDC=ECD，如图 1，试确定线段 AE 与 DB的数量关系，并说明理由；（2）点 E 在线段 AB 的延长线上，点 D在线段 CB 的延长线上，且EDC=ECD，如图 2，若ABC 的边长为 1，AE=2，求 CD的长；（3）如图 3，在等边三角形 ABC中，点 E在 AB 上，AE=3BE，连接 CE，作BCM =AEC，CM=CE 连接 AM，交 BC于 P，则 BP：CP= .4.如图，等边三角形 ABC 的边长为 6cm，点 D从点 C出发沿着 CA向 A运动，点 E从点 B出发沿着 AB的延长线向右运动，