(论文)前言、一章、二章

前 言自从美国自动控制理论专家 LAZaden提出了用“Fuzzy Sets”（模糊集合）描述Fuzzy事物以来，Fuzzy数学及其应用发展十分迅速尤其是近十年来，随着计算机的发展及普及，Fuzzy控制理论更趋于实用化。由于应用Fuzzy集理论建立Fuzzy模型，来编制计算机程序，可以更深人、更广泛地模拟人的思维，从而使计算机具备一定的智能。例如让计算机自动驾驶飞机，自动控制复杂的还原炉系统；在家用电器方面，还有模糊控制洗衣机等；在人工智能、图像识别、医疗诊断、经济学、心理学、生态学等域中，都需要Fuzzy集理论与计算机技术紧密结合起来。目前，单片微型计算机的功能越来越强，性能价格比较高，使得Fuzzy控制的应用更加广泛。近几年来，国内外把Fuzzy技术应用在家用电器方面取得了令人满意的效果。本教材就是为本院家用电器专业编写的。在编写过程中，得到家电教研室主任曹建民副教授的大力支持，自动化系及教务处的领导给予了很大的关心，在此表示感谢。由于本人水平所限，缺点错误一定不少，敬请读者批评指正编 者 概论 目前，自动控制技术已经渗透到人类生产、建设和社会生活的许多领域；如通信卫星的准确定位、导弹准确地击中目标、生产线的自动控制、计算机控制的生产过程等都离不开自动控制技术。l、控制理论发展概论随着生产的发展，控带技术也在不断地发展。尤其是随着计算机的发展，推动了控制理论的不断向前发展。控制理论的发展大体分为三个阶级：第一阶段：大约在本世纪4060年代，控制论主要解决单输入单输出线性定常系统的问题，称为“经典控制理论”时期。第二阶段：大约在本世纪6070年代，用状态空间法解决线性、定常或非线性、时变的多输入多输出系统的问题，称为“现代控制理论”时期。第三阶段：本世纪70年代至今，控制理论向着“大系统理论”和“智能控制”方向发展。2、模糊理论的兴起 模糊理论又称Fuzzy理论。“Fuzzy”一词出自英语，中文意思为“模糊”。它又可译为“不分明的”或“边界不清的”。 人们生活中碰到的许多事情，包括人脑的思维，都具有模糊性的特点。所谓模糊性，主要是指客观事物彼此间的差异在其中间过渡时的“不分明性”。例如，在日常生活中常常遇到的“大与小”、“高与矮”、“快与慢”、“热与冷”等等现象，都很难用精确的数学语言划分出一条截然分明的界线。 经典数学的主要特点是它描述事物所用方法的精确性。众所周知，精确数学是建立在经典集合论的基础上。它要求一个对象是能属于某一个集合，而一个集合到底包括哪些对象也必须明确。这就使它难以描述人们在日常生活中遇到的大量的模糊现象与概念。 随着科技术的发展，在有些现象或系统中，由于影响因素过多，参数与条件过于多样和复杂，描述系统的相应微分方程将要包括众多的已知和未知的变量和随机变量，要列出它们的微分方程式往往很困难，甚至无法实现，更谈不上求解了。另外，对于过去不大用数学方法处理问题的学科，如心理学、人文科学、语言学及社会科学等等，都迫切需要定量化和数学化，而其中许多问题需要用模糊数学来描述。所以人们在已有的经典数学方法的基础上，根据客观规律改造现有数学，这样便产生了随机数学和模糊数学。模糊集论是美国自动控制专家扎德（L.A.Zadeh）教授于1965年提出的。他在Fuz zy Set论文中提出了“隶属函数”的概念，用它来描述差异的中间过渡性，给出了模糊概念的定量表示方法。经典数学中的集合，完全是通过其特征函数来进行运算，每个集合都有一个特征函数CA（x），其定义如下： 特征函数的图形如图0l所示。由于经典集合论的特征函数只允许取0，1两个值，故与二值逻辑相对应，按布尔代数法则来运算。而模糊数学是将二值逻辑 0，1推广到取值为0，1闭区间任意的连续值逻辑，也就是将特征函数作了适当推广，叫隶属函数，以表示，它满足：0A(x)1如0一2所示。用它来描述差异的中间过渡性，使模糊概念有了定量表示法。模糊数学问世以来，其发展异常迅速，到七十年代初期，模糊集合的概念愈来愈被更多的科学工作者所接受，这方面的研究工作也相应地迅速发展起来控制论的创始人维纳（Wechler）在谈到人为什么能胜过任何完善的机器时指出：“人具有运用模糊概念的能力”。在现实生活中，许多现象和关系是具有模糊性的，例如“两个人长得很象”就是一种模糊关系，因为一个人只能与自己长得一模一样，可以用模糊理论中“隶属函数”值为“1”来表示。而儿子象父亲，只能用“隶属函数”值为“0”与“1”之间的某个值来表示。可见模糊关系是经典关系的自然扩展。目前，模糊数学已在自动控制、信息处理、人工智能、图像识别、农作物选种、商品评价以及经济学、社会学、语言学、管理科学、法学和哲学等各部地中得到了应用。从所周知，经典控制论解决线性定常系统的控制问题是十分有效的。现代控制理论在空间飞行、导航及军事领域等多方面得到成功的运用。但是，在工业生产中，都有相当数量的过程难以实现自现控制，如那些含有大滞后，非线性等复杂工业对象，那些难以获得数学模型或模型非常粗糙的工业系统等，都仍然以人工操作和人工控制为主。近年来的实践表明，对于上述难以实现自动控制的生产过程，如果采用计算机与Fuzzy控制理论相结合来实现自动控制，会得到较好的控制效果，经济效益较显著。在家用电器方面，近年来，出现了Fuzzy控制洗衣机、Fuzzy控制电饭锅及Fuzzy控制吸尘器等。第一章模糊数学基础1.1普通集合与Fuzzy集合普通集合论是十九世纪德国数学家康托（Contor）创立的，它已经成为现代数学的基础。Fuzzy集合论是美国自动控制专家扎德（L.A.Zhdeh）于1965年创立，它是Fuzzy数学的基础。由于Fuzzy集合论是在普通集合的基础上发展起来的，所以我们首先应该弄清楚普通集合论的基本概念。一、普通集合1基本概念集合具有某种特定属性的对象的全体，总称集合。将组成集合的事物称为集合的元素或元。通常用大写字母A、B、CX、Y、Z等表示集合，而用小写字母a、b、cx、y、z等表示集合中的元素。元素与集合之间的关系，在数学上采用符号表示属于而表示不属于，例如元素x不属于集合X时，用xX来表示。集合的表示方法有下列三种：1）列举法：将一个集合中全部元素列出，再用大括号括起来。例如，扑克牌的画面有四种图案，它们组成一个集合Y，用列举法表示为Y=红桃、黑桃、方块、梅花这种表示法不适用于集合中元素过多或无限多的情况。2）定义法：是用集合元素的共性来描述一个集合。例如，以列举法表示的集合A=2，4，6，8，可定义为小于10的偶数，用定义表示为A=x|x为偶数，x10这里x代表集中的各元素，其它文字表示构成这些元素所具有的共性，其中的一竖可用冒号代替，如A=x：x为偶数，x103）特征函数法：某个集合可以用其特征函数来表示，（为希腊字母）。其方法如下：若元素属于普通集合A（xA），则其特征函数A(x)=1；若xA，则A(x)=0。论域被考虑对象的所有元素的全体称为论域、全集。通常用大字母U来表示。结定一个论域U，U中某一部分元素的全体，叫U的一个集合，因此一个论域U可能有很多个集合。集合论中常用符号及表达方法：1）包含（）：设A和B是论域U的两个集合，如果对于任意xU，若xA，又可推得xB，便可称B包含A，记作BA，此时A称为B的子集合（简称子集）。假如BA，又至少有一个xB且xA，则称A是B的真子集，记作BA。如果BA，同时也有AB，则称A、B两个子集相等，记作A=B。不含任何元素的集合叫空集，以符号表示。于是有：2）补集（）：设A为论域U的集合，取出一切不在A集合内的元素所构成的集合叫A的补集，记作。例如，论域U=a,b,c,d,e；A=a,d,e，则=b,c。3）符号“x”：在集合表达式中，常以符号“x”表示，对于任意一个“x”。例如，集合B作为集合A的子集的充要条件是：“如果B中的任意一个元素x，都同时属于集合A”。这句话可以简化为：若x B，都有xA，则AB。4）集合的Zadeh表示法：通过各元素的特征函数与集合0,1中的元素一一对应，应能清晰地刻划出一个集合。例如一个工段共有七人，用x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7表示，在这个论域中，男工和女工集合可分别表示为：男工=女工=式中的“+”号并不是加号，而是表示列举；作为项中的分式也不表示相除，其含意是分母表示元素名称，分子表示该元素的特征函数值。5）集合的基数：一个有限集合的元素个数，叫该集合的基数。集合A的基数记作n(A)。例如，在上例中，男工集合的基数为4，即n(男工)=4；女工集合的基数为3，即n(女工)=3。6）子集的总数：一个集合最多可分为多少个子集合呢？现以一个含有三个元素的集合A=1,2,3为例，有如下分法：不含任何元素的子集，即空集，有一个；含有一个元素的子集共有三个：1,2,3；含有两个元素的子集共有三个：1,2,2,3,1,3；含有三个元素的集合，即全集有一个：1,2,3。所以集合A的子集总数为1+3+3+1=8（个），即23=8。普遍地说，若集合N含有n个元素，则N的子集总数为。2集合的运算集合与集合之间也可进行运算，常用的集合运算有如下几种：1）集合并（并集）设有两个集合：A=a,b,c,dB=c,d,e,f集合A与集合B的并集合记为，它是由A和B合并而成的，但其中重复的元素只能出现一次，即=a,b,c,d,e,f两集合的并集也可以写成如下形式：=x|xA或xB2）集合交（交集）若A、B是两个集合，由属于A同时又属于B的所有元素组成的集合称为A与B的交集合，记作。对于上例的集合A，B，其交集为：=c,d交集的表达式为：=x|xA且xB3）集合补（补集）若A为集合，U为论域，由论域U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为A在U中的补集，以表示。A的补集的表达式为：=x|xA,xU设U=a,b,c,d,e,f，A=a,b,e,f则=c,d集合之间的运算，也可采用集合图来表示，且更为直观，论域U（全集合）在图上画为矩形，并在右上角注以U。图1-1给出了集合的包含、并、交、补关系。4）集合差（差集）如果取属于A集但不属于B集的元素组成一个集合，它便叫集合A与集合B的差集。以AB表示，其集合图如图1-2所示。同理，集合B与集合A的差集以BA表示，其集合图如图1-3所示。注意：如果A=B，则AB=BA=；如果AB，则ABBA。故差集的运算是不能交换的。根据差集的定义，其表达式为：AB=x|xA但xB5）对称差集AB和BA的并集叫A和B的“对称差集”，以AB表示AB=(AB)(BA)A和B对称差集和B和A的对称差集相等，其集合图如图所示，从图中可以看出，对称差集是并集与交集之差，即AB=(AB)(BA)= (AB)(AB)6）集合运算规则（1）交换律 AB= BA AB= BA（2）结合律 A(BC)=(AB)C (AB)C=A(BC)（3）分配律 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)（4）传递律 若BA，CB，则CA。（5）幂等律 AA=A AA=A（6）同一律 A=A AU = U A= AU=A（7）补余律 （8）复原律 =A（9）摩根律 7）集合的直积设有集合A和B，它们的直积AB定义为：AB=(x,y)|xA，或yB即在A和B中，按x先，y后的顺序各取一个元素，搭配成（x,y）对，这称为“序偶”（一般说来（x,y）（y,x），所有的这些序偶（x,y）的全体构成一个集合，这个集合叫直积，记作AB。例，设 A=1,2B=a,b,c则AB=(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c) BA=(a,1),(b,1),(c,1), (a,2),(b,2),(c,2)可见ABBA设R为实数集，即R=x|-x+则RR=(x,y)|-x+，-y+它代表整个平面，可用R2来表示，即：R2=RR也就是通常所说的二维欧氏空间。同理，设A1,A2,An是n个集合，则A1A2An=(x1,x2,xn)|x1A1，x2A2，xnAn或写成RRR= Rn即n维欧氏空间。二、Fuzzy集合的基本概念由前面介绍可知，普通集合（经典集合）其论域中的任何一事物，要么属于某个集合，要么就不属于该集合，不允许有含混不清的说法。然而在现实生活中却充满了模糊事物和模糊概念。例如“胖子”集合，“老年人”集合及“高个子”集合等等，它们的边界并不明确，我们将这类集合叫模糊集合，并在大写字母上边加波浪线来表示。例如就表示一个Fuzzy集合。为了将普通集合与Fuzzy集合加以区别，我们将Fuzzy集合的特征函数称为隶属函数，并来表示。其中表示某元素x属于Fuzzy集合A的程度或称“隶属度”。它可以在0,1闭区间连续取值。它能说明某一元素x隶属于某一Fuzzy集合的程度。例如，说明某人属于“老年人”集合的隶属函数可表达为老年人(x)= （1-1）其中x代表50岁以上的某人年龄，如果甲是55岁，代入式（1-1）计算，可得：老年人(55)=0.5这说明像甲这样的55岁人只能算是半老，因为这样的人属于“老年人”的隶属度只有0.5。同样把60岁，70岁年龄分别代入式（1-1）得：老年人(60)=0.8，老年人(70)=0.94这说明60岁、70岁的人属于“老年人”集合的隶属度分别为0.8和0.94式（1-1）中以年龄为论域，取U=50,100，以55岁为半老年人为界而确定的，故Fuzzy集合中隶属函数值的确定也带有一定的主观性。通常，隶属函数值可根据经验或统计方法确定。例如有5个人a1,a2,a3,a4,a5,其中a1很胖，a2相当胖，a3稍胖，a4不胖，a5干瘦。那么“胖人”模糊集合用表示，对于这5个人，其隶属度分别为：=1，=0.75，=0.6，=0.35，=0当讨论的模糊集合范围是有限时，Fuzzy集合可以用向量表示。例如对上面a1a5这5个人考虑“胖人”集合时，则可表示为：=1,0.75,0.6,0.35,0有时，也可用Zadeh表示法，在这种表示法中，把元素和其隶属度用一个分式表示。例如，a2对的隶属度为0.75，表示为0.75/ a2，则上面的“胖人”集合可表示为：=其中“+”号表示“连”的意思，并非相加。Zadeh表示法也可表示为： =当讨论的范围是无限时，Fuzzy集合可用积分号表示，即=式中的积分号只表示有无限多个元素。1.2 模糊子集的特性及运算法则一、模糊子集的特性及运算法则由于Fuzzy子集的特征量是它的隶属函数，故对两个Fuzzy子集进行运算时，通常都是逐点对其隶属度进行相应的运算。（一）特性：1Fuzzy子集的相等定义隶属函数全部相同的两个Fuzzy子集为相等，即对所有元素x，若有 =则 = 同理，也可由隶属度函数的运算来定Fuzzy子集的补集。即具有隶属函数为 =1-的Fuzzy子集，就是的补集，例如，代表“老年人”集合，则就是“非老年人”集合，对于60岁的x1来说，其=0.8，即x1属于“老年人”的资格为0.8，那么x1属于“非老年人”的资格为：=1-0.8=0.22.模糊全集和模糊空集对于全部元素x，若均有=0则定义模糊集合为模糊空集，以表示；若对全部元素x均有=1则称为模糊全集。Fuzzy空集与Fuzzy全集瓦为补集。3包含（）对于全部元素x，若有则称Fuzzy子集包含Fuzzy子集，记作这是为的Fuzzy子集。（二）模糊集合的运算1.模糊子集的“并”、“交”、“补”运算。设集和为论域U上的两个模糊子集，则和的并集合的隶属函数定义为=max，或表示为=则称是与的交集合，记作=其中“min”或“”表示取小运算。若=1-则称为的补集合。2.模糊子集的代数运算代数积：称为模糊子集和的代数积，的隶属函数为=代数和：称+为模糊子集和的代数和，其隶属函数为=3.模糊子集运算规则两个模糊子集运算规则如下：A=，xU，A(x)=0A=B，xU，A(x)=B(x)，xU，A(x)=1-A(x)BA，xU，A(x)B(x)C=AB，xU，C(x) = maxA(x)，B(x) =A(x)B(x)C=AB，xU，C(x) = minA(x)，B(x) =A(x)B(x)4.模糊子集的基本性质（1）交换律 AB=BA AB=BA（2）结合律 A(BC)=(AB)C (AB)C=A(BC)（3）分配律 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)（4）传递律 若BA，CB，则CA（5）幂等律 AA=A AA=A （6）同一律 A=A A= AU = U AU=A （7）摩根律 ， =， （8）复原律=A例1，设论域U为：U=x1,x2,x3,x4,x5A，B是论域U的模糊子集，且A=B=试求和、AB及AB。解：根据A(x)=1-A(x)，则= AB(x)=A(x)B(x) AB(x)=A(x)B(x) AB= = AB= =二、截集在一个模糊集合中，隶属函数值大于某一水平值的元素所组成的子集，称为该模糊集合的水平截集，它是模糊集合向普通集合向普通集合转化的一个关键。常用于模糊决策中。例如，“高个子”是个Fuzzy集合。而“身高1.7米以上的人”是一个普通集合，因为它已有清楚界线。水平截集记作。“”就是水平的值（0minR(x,y),R(y,z)则称R为具有传递性的Fuzzy关系。论域AB为有限集时，模糊关系R可以用模糊矩阵R表示。二、模糊矩阵例如有一组学生组成集合xx=王二，张三，李四规定他们可以选学英、日、德、法四种外语中的任意几门，设这四门外语课组成的集合为yy=英,日,德,法 且他们三个的期终考试成绩如表2-1所示：姓名语种成绩王二王二张三李四李四英法德日英8085956578如果把他们的考试成绩除以100，则可以认为他们和考试成绩之间构成的XY上的一个Fuzzy关系R如表2-2所示：R英日德法王二张三李四0.800.78000.6500.9500.8500把上述R写矩阵形式，即得：R=称此矩阵为“模糊矩阵”。其中每一个元素是在0,1闭区间取值。这是普通关系矩阵的扩展。设A=a1,a2,an，B=b1,b2,bn，则模糊矩阵可写成R=(rij)= 式中0 rij 1；i=1,2,，n；j=1,2，m。rij表示集合A中第I个元素和集合B中第j个元素组成的序偶隶属于Fuzzy关系R的程度。模糊矩阵一、模糊关系矩阵的运算定义1：设Fuzzy矩阵A=aij和B=bij，若有Cij=aij，bij= aijbij，则C=Cij为Fuzzy矩阵的并A和B，记作C=AB定义2：设Fuzzy矩阵A=aij和B=bij，若有Cij=aij，bij= aijbij，则称Cij=cij为Fuzzy矩阵A和B的交，记作C= AB例1：已知：A=， B=求AB及AB。解：AB=AB=定义3：设Fuzzy矩阵A=aij，则1-aij称为A的补矩阵，记作例2：已知A=，求解：= =定义4：若有Fuzzy矩阵AB，且A=aij，B=bij，令C=AB且C中的元素为Cij=则称C为Fuzzy矩阵A和B的积。例3：已知A=，B=，求AB。解AB=工理 BA =可见，一般地说，ABBA。二、模糊关系的应用例1：某家中子女与父母的长像相似的关系R为R父 母子女0.8 0.20.1 0.6用模糊矩阵表示为R =该家中父母与祖父母的长像相似的关系S为用Fuzzy矩阵表示为S =而Fuzzy矩阵的积RS为RS=把RSFuzzy矩阵改写Fuzzy关系为RS祖父 祖母子女0.5 0.70.1 0.1这一例子说明，Fuzzy矩阵相乘时先取小后取大有实际中的现实意义。2.3 模糊逻辑在本世纪三十年代末期，数理逻辑已开始用于开关电路设计。四十年代末，数理逻辑和布尔代数已成为电子计算机科学的基础理论之一，这是因为电子计算机具有二值逻辑的特点。在二值逻辑中，一个可以判断真假的句子称为命题，如果命题为真，其真值为“1”；否则，若命题为假，其真值为“0”。然而，在现实生活中存在着大量的模糊判断，如“甲个子很高”，“乙很年轻”等。随着科学技术的进步，人们在研究复杂大系统时，由于其结构复杂，且要涉及大量的参数与变量，这些都具有模糊性特点，所以二值逻辑在这些系统中就不够用了。为此人们开始研究多值逻辑和连续值逻辑。模糊逻辑是多值逻辑的发展，又是模糊推理的基础。一、二值逻辑在二值逻辑中，一个命题只能是“真”或“假”，两者必居其一。例如“北京在中国”是真；“二加三等于六”是假。如果把两个或两个以上的单命题联合起来，就构成一个复命题，设P，Q位两个单命题，则复命题的构成方式有下列几种。（1）并：表示位PQ，用以表示“或”的关系。（2）交：表示为PQ，用以表示“与”、“及”、“且”的关系。P、Q两命题结合后得到的真值表如表2-3所示： 表2-3命题PQPQPQ真值1100101011101000（3）否定：命题P的否定记作（-P）。（4）蕴涵：蕴涵是用来表示“若，则”。即命题P的成立，即可推出命题Q也成立，以PQ表示。（5）等价：它表示两个命题的真假相同，以表示。二、连续值逻辑和模糊逻辑在多值逻辑中，如N值逻辑，逻辑值可以取0，1，2，N-1个。我们规定，Fuzzy命题P的逻辑值V（P）=X是在0,1连续闭区间内任意取值。因此，将研究Fuzzy命题的逻辑称为连续性逻辑。由于它主要用来研究Fuzzy集的隶属函数，所以也称为Fuzzy逻辑。连续逻辑运算规则如下：逻辑并：XY=max(X,Y)逻辑交：XY=min(X,Y) 否 定：=1-X限界差：XY=0（X-Y）界限和：XY=1（X+Y）界限积：XY=0（X+Y-1） 蕴涵：XY=1（1-X+Y） 等价：XY=（1-X+Y）（1-Y+X）通常，一个模糊逻辑公式常为Fuzzy函数，由于Fuzzy函数是在0,1区间任意取值，所以在处理Fuzzy函数中，以解析法为处理手段，与二值逻辑处理方法相比较，难度较大。最恰当的办法是在0,1闭区间上把Fuzzy函数变量x分成有限个等级，采用多值逻辑的方法来处理Fuzzy的逻辑问题。例如，将0,1闭区间分为n个等级如下：第一级 a1x1第二级 a2xa1第n级 0x an-1其中0an-1a2a11在讨论现实问题时，我们常把闭区间分成十个相等等分，让隶属函数（x）在集合。=（0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1）上取值。这样，Fuzzy变量的逻辑值也对应有11种，我们可以用处理多值逻辑的办法来处理Fuzzy集X和Y的隶属函数的逻辑运算。例如xy，y，xy的逻辑运算，其真值表如表2-4、2-5、表2-6所示 表2-4 yxy x00.10.20.30.40.50.60.70.80.910000000000000.100.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.200.10.20.20.20.20.20.20.20.20.20.300.10.20.30.30.30.30.30.30.30.30.400.10.20.30.40.40.40.40.40.40.40.500.10.20.30.40.50.50.50.50.50.50.600.10.20.30.40.50.60.60.60.60.60.700.10.20.30.40.50.60.70.70.70.70.800.10.20.30.40.50.60.70.80.80.80.900.10.20.30.40.50.60.70.80.90.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91表2-5 yy x00.10.20.30.40.50.60.70.80.91000.10.20.30.40.50.60.70.80.910.100.10.20.30.40.50.60.70.80.90.90.200.10.20.30.40.50.60.70.80.80.80.300.10.20.30.40.50.60.70.70.70.70.400.10.20.30.40.50.60.60.60.60.60.500.10.20.30.40.50.50.50.50.50.50.600.10.20.30.40.40.40.40.40.40.40.700.10.20.30.30.30.30.30.30.30.30.800.10.20.20.20.20.20.20.20.20.20.900.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1100000000000 表2-6 yxy x00.10.20.30.40.50.60.70.80.91000.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.10.10.20.30.40.50.60.70.80.910.20.20.20.20.30.40.50.60.70.80.910.30.30.30.30.30.40.50.60.70.80.910.40.40.40.40.40.40.50.60.70.80.910.50.50.50.50.50.50.50.60.70.80.910.60.60.60.60.60.60.60.60.70.80.910.70.70.70.70.70.70.70.70.70.80.910.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.910.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.91111111111111三、模糊函数与模糊变量综上所述，我们可以在0,1闭区间上将Fuzzy函数分成n个有限等级，再采用多值逻辑方法来处理Fuzzy函数的问题。为简明易懂，我们以n=2为例加以分析。第一级a1x1，第二级0xa1，必须有 xza1 （3-1） 或 a1 （3-2） 或 a1 （3-3）对式（3-1）分解如下：xa1与a1与za1其中，a1可写成y1-a1以此类推，可得满足f(x,y,z)的x,y,z的范围为：第一组第二组第三组与上述相反，若已知Fuzzy变量的范围，也可以推出Fuzzy函数的表达式。2.4 模糊语言语言是思维的物质外壳，思维是语言的内容，没有思维就没有语言，没有语言就难以进行思维，两者是相辅相成的。但是，思维和语言都具有模糊性。一、语言的模糊性自然语言的重要特点就是它具有模糊性，带有模糊性的语言称为模糊语言。平时人们交谈中，尽管使用不少模糊句子来表达自己的思想，但这并不影响人与人之间的信息交流。因为这些词和句的模糊性使自然语言富有表达力。在人们通常使用的自然自然语言里，包含了大量模糊词句。例如“白”与“黑”，“大”与“小”，“高”与“矮”，“长”与“短”以及“春”、“夏”、“秋”、“冬”等，它们之间的界限皆是模糊的。尤其是形容词、副词和动词等更存在着大量的模糊词。在对事物进行比较时，这些模糊的副词、形容词也具有浓厚的Fuzzy性，例如：“张三比李四年轻”；“王二比张三跑得快”。也就是说，当用Fuzzy词对事物进行比较时，对象不一定具有本特征，这是由于这些都是一些Fuzzy概念，从而使人们在不同条件，不同时间下产生不同的理解。总之，模糊语言的确切定义是很难一语道破的，大致来说，它是含有意义不清的单词语言，它的隶属函数是0,1闭区间取值。二、Fuzzy语言的定量刻划在语言学中，给一些单词以数学定义，使其定量化和数学化，这就使电子计算机接受自然语言程序，提高计算机的“智能”的首要前提。要深入研究模糊语言，探索模糊语言形式、定量化的途径，首先要设法对模糊语言进行定量的刻划。而模糊概念和模糊词实际上是某一论域中的一些Fuzzy集合，因此，可以在语言的集合描述的基础上再引入Fuzzy算子的概念。例如用“特别”、“极”、“较”、“比较”、“约”等一类词作为算子，放在其它词前面，来加重或削弱其表达程度，常用的三种算子为：语气算子、Fuzzy算子和判定算子。（1）语气算子：用来表达语言中的肯定程度。其中加强语气者称为集中化算子；减弱语气者称为散漫化算子。语气算子定义如下：(HA) ()A() 其中A()为论域的一个模糊子集，H称为语气算子，为一正实数。如果论域为年龄，而A()表示单词老，那么HA()随着取不同值，就可以表示出“年老”的程度。当1时，H称集中化算子。我们假设H5/4为“相当”，H2为“很”，H4为“极”，则相当老()= =很老()= =极老()= =当1时，称为散漫化算子，它可以适当地减弱语气的肯定程度。如可称H1/4为“微”，H1/2为“略”，H3/4为“比较”，其表达式仿照前述请自行推导。2模糊算子模糊算子定义如下：(FA)()(EA)()=(E(,)A()其中E是上的一个相似关系，论域=(-,+),E一般取为正态分布形式，即E(,)=式中为参数，其取值大小反映了模糊化的程度。例如：A()= 则：(FA)()=(E(,)A()=(E(,4)= 图2-1中A()表示一个确定的数学4，而FA()则表示一个峰值为4的模糊数，它对应的词为“大约4”或记为4。（3）判断化算子：“属于”、“接近于”、“偏向于”、“多半是”等词，是另一种算子，称为判断化算子。判断化算子定义为(PaA)()daA() 其中Pa为判断化算子，da定义为在0,1区间上的实函数，表示为da(x)= 例如，年青的隶属函数为A()=当=30A (30)=，则倾向年青 ()=P()=d()=三、模糊推理在科学研究，最常用的推理方法是演绎推理和归纳推理。应用Fuzzy理论可以对Fuzzy命题进行模糊的演绎推理和归纳推理，我们这里主要讨论模糊演绎推理中的假言推理和条件推理。1假言推理设Ax，By，它们的隶属函数分别为A(x)和B(x)。条件语句为“若A则B”（AB），它的隶属函数为：AB(x,y)= A(x)B(y)1-A(x) (a)近似推理中的假言推理有如下逻辑结构：若A，则B例：设集合X=a1,a2,a3,a4,a5集合Y=b1,b2,b3,b4,b5X、Y上的模糊子集“大”、“小”、“较小”的隶属度分别表示为：大=小=较小= =条件是“若x小则y大”，试问“令x为较小”，则y如何？解法如下：第一步：利用式(a)小大(x,