极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较.ppt

1,二、 两个重要极限,一、函数极限的夹逼准则,第五节,极限存在准则,两个重要极限,第一章,2,一、极限存在的夹逼准则,定理1.,且,（2）,关于数列的夹逼准则：设数列 满足：,（1）,则 存在且等于,3,证明：下面仅对 时的函数极限来证明夹逼准则。,对 ，因为 ，故存在 ， 当 时，有 ，从而,又因为 ，故存在 ，当 时，有 ，从而,4,取 ，则当 时，不 等式 同时成立，并 注意到,就得到,故,这就证明了,5,圆扇形AOB的面积,重要极限 （一）,证: 当,即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,6,当,时,注,7,说明： 1) 几个附带的有用结论：,其中等号成立,8,3) 在保证 时,有,4) 注意区别：,9,例2. 求,解:,解:,例1. 求,10,解: 令,则,因此,原式,例3. 求,例4. 求,解: 令,则,因此,原式,11,例5. 求,例6. 求,解: 原式 =,解: 原式,12,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,例7. 已知圆内接正 n 边形面积为,13,2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52),( 证明略 ),只给出几何解释：,14,例7. 设,证明数列,极限存在 .,证: 利用二项式公式 , 有,15,大,大,正,比较可知,16,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,又,17,故极限存在，,例8,设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,18,重要极限（二）,证: 当,时, 设,则,19,当,则,从而有,故,时, 令,20,1)该极限的特点:,(2)括号中数1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.,2)极限呈,但第二个特点不具备时,通常凑指数幂使(2) 成立.,则,说明,21,3) 重要极限2的不同形式,22,例1. 求下列极限,解: 令,则,说明 ：利用,则,原式,解,原式,23,例2 求,解法一：,解法二：,24,解: I =,解: 原式 =,例3. 求下列极限,25,例4 求,解: 原式 =,例5 求,解: 原式 =,26,例6 已知,，求常数 C。,解: 原式 =,27,2. 两个重要极限,或,28,第一章,都是无穷小,第六节,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小的比较,29,定义：,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 定义,30,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,31,例1. 证明: 当,时,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,例2. 当,时,是,的几阶无穷小?,解: 设其为,的,阶无穷小,则,因,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,33,定理1.,证:,即,即,例如,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 性质,这时也称 为 的主要部分,34,定理2 . 设,且,存在 , 则,证:,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,35,说明,1) 等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限代替.,给 型未定式的极限运算带来方便.,36,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,解:,原式,例如，,2)称定理2为等价替换定理，进行等价替换时,代换式中不能出现加减号,必须是整体因子的替换.,37,3)牢记常见的等价无穷小.,38,例3. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,39,例4.,求极限,解:,40,内容小结,1. 无穷小的比较,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小,