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文档简介

期中考试安排,考试时间：2011，11，10，上午,2.3 极限存在性的判定和求法,一、极限存在性的判定,1、夹逼定理,定理,应用夹逼定理求极限，关键是找到g(x)、h(x)，不但要,满足不等式，而且二者的极限要相等。,设数列 xn, yn, zn 满足下列关系:,(2),则,夹逼定理：,例1,答案 1,解,2、单调有界性定理,定义,有界。,定义,单调递增；,单调递减。,定理,单调有界数列必有极限。,单调收敛准则,单调减少有下界的数列必有极限 .,单调增加有上界的数列必有极限 .,通常说成：单调有界的数列必有极限.,例3,答案,例 4. 设,证:,显然,证明下述数列有极限 .,即,单调增,又,存在,“拆项相消” 法,例5. 求,解: 令,则,利用夹逼准则可知,二、两个重要极限,首先看看在计算机上,进行的数值计算结果：,第一个重要极限：,其中的两个等号只在x=0时成立.,设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作,则sin x =BD，tan x=AC，,当 时,首先证明不等式,当 时有,即当 时,而当 时有 ,从而,即当 时有,这就证明了不等式 .,从而有,由夹逼准则，即得,第一个重要极限：,这是因为，令u=a(x)，,则u 0，于是,解：,例3,例4,解：,重要极限(I)：,例5,解：,重要极限(I)：,求,故,解,(2),求 (1),请自己动手做一下,(1),解,(2),解,由三角函数公式,求,解,故 原式,解 利用重要极限，有,例10. 求,解:,原式,2. 重要极限,变量代换,其中e是一个常数，其近似值为：e2.7182818284590。,第二个重要极限：,下页,*证,由中学的牛顿二项式展开公式,类似地, 有,等比数列求和,放大不等式,每个括号小于 1 .,*证,综上所述, 数列xn是单调增加且有上 界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限 存在, 通常将它纪为 e, 即,e 称为欧拉常数.,如果可行, 则可以利用极限运算性质,得到所需的结论吗？,* 证明,因为 x +, 故不妨设 x 0.,由实数知识, 总可取 n N, 使 n x n+1,故,我们作变量代换, 将它归为 x + 的,情形即可.,想想, 作一个什么样的代换？,*再证明,由,最后证明,现在证明,令,t ,则 x 0时,故,于是有,证,综上所述, 得到以下公式,一般地,两个重要极限,或,思考与练习,填空题 ( 14 ),重要极限(II)：,例1.求下列极限,=e-1e=1。,例2,解：,重要极限(II)：,例3思考题： 求极限,解 原式,求,解,重要极限(II)：,( 1 ),求,解,解,此题的另一解法：,解,注意：,求,解,又,故,常用的方法,例8 设有本金1000元，若用连续复利计算，年利 率为8%，问5年末可得本利和为多少？,解 设复利一年计算一次，则一年末本利和为,若复利一年计算n次，
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