Lagrange插值多项式.ppt

第1章 插值法,本章内容 4.1 Lagrange插值多项式 4.2 Newton插值多项式 4.3 分段低次插值,实际问题中，经常会出现函数不便于处理或计算的情形：,函数关系没有明显的解析表达式，需要根据实验数据或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值,函数虽然有明显的解析表达式，但是使用很不方便,需要对实际使用的函数建立一个简单的便于处理和计算的近似表达式，即用一个简单的函数表达式来近似代替原来复杂的函数。,逼近,近似代替，计算法中最基本的概念和方法之一。,常用寻求近似函数的方法 插值、曲线拟合,实际问题中，往往要研究变量之间的函数关系，但多数 情形下只能由测量或实验观察，得到一系列的数据：,的零点、导数、积分等等。,问题的提出,插值法基本思想：,分类：,内插,外推,注：简单函数:可用四则运算进行计算的函数,常指多项式函数、分段多项式函数、有理函数； 相应插值法称为：代数插值法、分段插值、有理函数插值；,我们主要介绍插值函数为多项式的插值，相应的 称为,插值多项式，记作 。,特别：,抛物线插值,线性插值,本节内容提要 插值多项式的存在唯一性 Lagrange插值多项式 线性插值、抛物插值、 Lagrange插值多项式、 插值余项、 Hermite插值,4.1 Lagrange插值多项式,一、插值多项式,的存在唯一性,Th1：,证明：,注：若不限定次数，则插值多项式不唯一；,如：,二、Lagrange插值多项式,的构造,1、线性插值与抛物插值,由Th1知，,中系数的计算只需求解一个,元方,程组，如此不但计算复杂，且难以得到,式；下面来介绍便于使用的简单插值多项式,的简单表达,特殊情形：,，先看,点斜式,两点式,基函数法：称,或称为基本插值多项式，则线性插值可以看 作线性插值基函数的线性组合。,为线性（一次）插值基函数，,类比：,(i),例1：,解：,内插,四位有效,六位有效,高度(m) 0 100 300 1000 1500 2000 . 压强 (kgf/m2) 0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485 试用二次插值法求1200米处的压强值.,例2:已测得某地大气压强随高度变化的一组数据,解：设x为高度，y为大气压强的值， 选取(1000,0.8515) ,(1500,0.7984), (2000,0.7485)三点构造二次插值多项式 (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x- x1) p2(x)=- y0 + - y1 + - y2 (x0-x1)(x0-x2) (x1-x0)(x1-x2) (x2-x0)(x2-x1) 代入已知的数值，得 p2(1200)=0.8515(1200-1500)(1200- 2000)/(1000-1500)(1000-2000)+0.7984(1200-1000)(1200-2000)+0.7485(1200-1000)(1200-1500)/(2000-1000)(2000-1500)=300*800*0.8515/500/1000+200*800*0.7984/500/500-200*300*0.7485/500/1000=0.82980 所以 y(1200) p2(1200)= 0.82980 (kgf/m2),2、Lagrange插值多项式,n次插值基函数或Lagrange基本多项式,注：,上式在计算机上实现容易：,计算机上算法实现,Lagrange插值算法,3、插值余项,Th2：,证明：,待定,注：,解：,六位有效,四位有效,估计上例中用线性插值与抛物线插值计算sin0.3367的误差。,例：,Runge现象：,注：,当,的,误差越小；但一般情形之下未必；,阶导数具有一致界时，节点越多，,可能出现：在插值区间中部误差较小，而在端点 附近误差较大的情形。Runge现象,Runge现象说明并非节点越多（插值多项式次数 越高），误差越小；,高次插值的缺点Runge现象的存在； 克服方法分段低次插值；,解：,例：,Runge现象,不同次数的Lagrange插值多项式的比较图,注：,Lagrange插值多项式的缺点：,基函数计算复杂；且无承袭性，即增加一个节点，所有的基函数都要重新计算,高次插值精度未必高；Runge现象,克服方法：, 利用低次 ( n=1 , 2 ) 插值多项式，经过适当的组 合来构造高次多项式，即可用前两个n-1次插值多项 式的线性组合来构造n次插值多项式； 逐次线性插值 利用Newton插值法。,4