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第四章 4.1矩阵的特征值与特征向量,4.1 特征值与特征向量,一 、特征值与特征向量的概念,定义1 设A是n阶矩阵 如果数和n维非零列向量 x 使 Axx 成立 则数 称为方阵 A 的特征值 非零列向量 x 称为A 的 对应于特征值 的特征向量,注：(1) 特征向量 x0与特征值都是对于方阵而言; (2) 一个特征向量只能属于一个特征值;而与特征值对应 特征向量不唯一。,二 、特征值与特征向量的求法,定义2,称为矩阵A的特征多项式.,称为矩阵A的特征方程.,特征方程|AI|0的根就是矩阵A的特征值 齐次方程(AI)x0的非零解x就是A的对应于特征值的 特征向量,例1 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,所以A的特征值为12 231,得基础解系p2(121)T,得基础解系p1(0 0 1)T,对于12 解方程(A2I)x0,所以kp1(k0)是对应于12的全部特征向量,对于231 解方程(AI)x0,所以kp2(k0)是对应于231的全部特征向量,例2 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,所以A的特征值为11 232,得基础解系,得基础解系p1(1 0 1)T,对于11 解方程(AI)x0,所以对应于11的全部特征向量为kp1(k0),对于232 解方程(A2I)x0,所以对应于232的全部特征向量为k2 p2k3 p3(k2 k3不全为0),p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T,三 、特征值与特征向量的性质,例3 设是方阵A的特征值 证明 (1) 2是A2的特征值,证明,因为是A的特征值,故有p0,使App,于是,(1)A2p,2p,(Ap),A(p),A(Ap),所以2是A2的特征值,因为p0 知
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