石油大学弹性力学10.ppt

1,Chapter 10 Torsion,2,第十章 扭 转,3,第10章 扭 转,10-1 等截面直杆的扭转,10-2 椭圆截面杆的扭转,10-3 薄膜比拟,10-4 矩形截面杆的扭转,10-5 开口薄壁杆件的扭转,扭转,4,扭转,对于任意截面杆的扭转，这是一个空间问题，根据问题的特点，本章首先给出了求解扭转问题的应力函数所应满足的微分方程和边界条件。其次，为了求解相对复杂截面杆的扭转问题，我们介绍了薄膜比拟方法。,柱体的扭转是工程中广泛存在的一类实际问题。 材料力学中研究了圆截面杆的扭转，采用了平面假设。 对非圆截面杆的扭转，一般横截面不再保持平面，即截面产生翘曲。 对两端承受扭矩的等截面直杆，如截面的翘曲不受限制，这类扭转称为自由扭转；如截面的翘曲受到限制，则称为约束扭转。约束扭转条件下，杆中会产生附加正应力。 本章讨论任意截面柱形杆的自由扭转。,5,扭转,10-1 等截面直杆的扭转,一 应力函数,设有等截面直杆，体力不计，在两端平面内受扭矩M作用。取杆的一端平面为 xy面，图示。横截面上除了切应力zx、zy以外，其余的应力分量为零,将应力分量及体力X=Y=Z=0代入平衡方程，得,根据前两方程可见，zx、zy只是x和y的函数，与z无关，由第三式,6,扭转,根据微分方程理论，一定存在一个函数x,y，使得,函数x,y称为扭转问题的应力函数。,a,10-1 等截面直杆的扭转,将应力分量代入不计体力的相容方程，可见：前三式及最后一式得到满足，其余二式要求,注：体力为零时，空间问题应力分量表示的相容方程,即,b,7,扭转,二 边界条件,在杆的侧面上，将 n=0，及面力分量为零代入边界条件，可见前两式总能满足，而第三式要求,注：空间问题应力边界条件,即,由于在边界上,10-1 等截面直杆的扭转,于是有,说明在横截面的边界上，应力函数为常量，由于应力函数减一个常数，应力分量不受影响，因此在单连通截面（实心杆）时可设,c,8,扭转,10-1 等截面直杆的扭转,对多连通截面（即空心杆）的情况，应力函数 在每一个边界上都是常数，但各常数一般不相同。只能把其中的一个边界上的 取为零。,x,y,s0,s1,s2,sn,通常取外边界s0的 ，即,jj为其他边界的待定常数。,9,扭转,分步积分，并注意在边界上为零,最后得到,d,10-1 等截面直杆的扭转,在杆的任一端，剪应力合成为扭矩,同样得：,10,扭转,三 位移公式,根据应力、应变、位移的关系可以得到,由上面得到,10-1 等截面直杆的扭转,其中K表示杆的单位长度内的扭转角.不计刚体位移,e,11,扭转,代入前面右边前两式,上两式可用来求出位移分量w。,f,10-1 等截面直杆的扭转,上两式分别对y和x求导，再相减，得,可见前面公式b中,得 C=-2GK.,显然，为了求得扭转问题的解，只须寻出应力函数，使它满足方程b、 c和d，然后由a式求出应力分量，由式e 和f给出位移分量的值。,12,扭转,10-2 薄膜比拟,对于矩形、薄壁杆件这些截面并不复杂的柱体，要求出其精确解都是相当困难的，更不用说较复杂截面的杆件了。为了解决较复杂截面杆件的扭转问题，特提出薄膜比拟法。该方法是建立在柱体扭转问题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜之间数学关系相似的基础上。 比拟的条件是二者的微分方程和边界条件相同。薄膜比拟法是求解扭转问题的一种实验方法。,设有一块均匀薄膜，张在与扭转杆件截面相同或成比例的边界上。当在侧面上受着微小的均匀压力时，在薄膜内部将产生均匀的张力，薄膜的各点将发生图示 z 方向微小的垂度。,b,c,13,扭转,取薄膜的一个微小部分abcd图示，它在xy面上的投影是一个矩形，矩形的边长分别是dx和dy。设薄膜单位宽度上的拉力为 T，则由z方向的平衡条件 得,简化后得,10-2 薄膜比拟,14,扭转,即,此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即,a,而应力函数所满足的微分方程和边界条件为,10-2 薄膜比拟,其中Gk也是常量，,b,将式 b与式 a对比，可见 与 决定于同样的微分方程和边界条件，如果调整 ， 使 ，则有 . 因而必然具有相同的解答。于是有,15,扭转,即,c,10-2 薄膜比拟,则有,从而有,d,由,又可得,e,设薄膜及其边界平面之间的体积为V，并注意到,16,扭转,1 扭杆的应力函数等于薄膜的垂度z。,2 扭杆所受的扭矩M等于该薄膜及其边界平面之间的体积的两倍。,3 扭杆横截面上某一点处的、沿任意方向的切应力，就等于该薄膜在对应点处的、沿垂直方向的斜率。,10-2 薄膜比拟,扭转问题和薄膜问题的对应关系,调整薄膜所受的压力q， 使得 则可得出如下结论：,17,扭转,10-3 椭圆截面杆的扭转,设有等截面直杆。它的横截面具有一个椭圆，椭圆的半轴分别为a和b，其边界方程为,应力函数在边界上应等于零，故取,代入,1,1、求应力函数,18,扭转,回代入1式得,由,10-3 椭圆截面杆的扭转,可得,由材料力学知,于是得,最后得,19,扭转,最后得到解答,于是由,横截面上任意一点的合切应力是,10-3 椭圆截面杆的扭转,最大切应力发生在短半轴的两端,最小切应力发生在长半轴的两端,2、求应力,20,扭转,10-3 椭圆截面杆的扭转,C=-2GK.,3. 求位移分量,21,扭转,9-4 矩形截面杆的扭转,一 狭长矩形截面杆的扭转,设矩形截面的边长为a和b (图示) 。若ab ，则称为狭长矩形。由薄膜比拟可以推断，应力函数在绝大部分横截面上几乎不随x变化，于是有,则,成为,积分，并注意在边界上,即得,将代入,积分后得,故,应力分量为,22,扭转,由薄膜比拟可知，最大剪应力发生在矩形截面的长边上，方向平行于 x轴，其大小为,9-4 矩形截面杆的扭转,二 矩形截面杆,在狭矩形截面扭杆应力函数的基础上，取任意矩形截面杆应力函数为,代入微分方程,并使 满足边界条件,得到,23,扭转,将上式右边在y-b/2,b/2区间展为 的级数，然后比较两边的系数，得,将Am代入，得确定的应力函数,9-4 矩形截面杆的扭转,由薄膜比拟可以推断，最大剪应力发生在矩形截面长边的中点若ab,24,扭转,其中扭角 k 由,9-4 矩形截面杆的扭转,求得,将上面两个公式分别写成：,因子 只与比值 有关，数值如下图所示.,25,扭转,9-4 矩形截面杆的扭转,系数 与 的关系,狭长矩形截面,26,扭转,9-5 薄壁杆件的扭转,实际工程上经常遇到开口薄壁杆件，例如角钢、槽钢、工字钢等，这些薄壁件其横截面大都是由等宽的狭矩形组成。无论是直的还是曲的，根据薄膜比拟，只要狭矩形具有相同的长度和宽度，则两个扭杆的扭矩及其横截面剪应力没有多大差别。,设 ai 及 bi 分别表示扭杆横截面的第 i 个狭矩形的长度和宽度，Mi表示该矩形截面上承受的扭矩，M表示整个横截面上的扭矩，i代表该矩形长边中点附近的剪应力，k代表扭杆的扭角。则由狭矩形的结果，得,开口薄壁杆件,27,扭转,由后一式得,而,故有,从而有,值得注意的是：由上述公式给出的狭矩形长边中点的剪应力已相当精确，然而，由于应力集中的存在，两个狭矩形的连接处，可能存在远大于此的局部剪应力。,9-5 开口薄壁杆件的扭转,28,扭转,9-5 开口薄壁杆件的扭转,闭口薄壁杆件,应用薄膜比拟法求杆件应力。假象在薄壁杆件的界面边界上张一块薄膜，在边界的垂度为零，在内边界处垂度为 ，且为常量，可以假象CD是一块无重的刚性平板。,由于 很小，可以认为薄膜的斜率沿厚度不变，于是切应力的大小为：,扭矩M 应等于体积ABCD的两倍，即,面积A可以取为内外两边界所包围的面积的平均值，也可取为杆壁的中线所包围的面积，由上两式得：,最大切应力发生在杆壁最薄处.,29,扭转,9-5 开口薄壁杆件的扭转,设薄膜对平板所施加的拉力为,在竖直方向的投影为：,由整个平板在竖直方向的平衡,上式变为：,由于,求扭转角,当 是常数时,S是杆壁中线的全长,30,设空心圆截面杆，外半径为a，内半径为b,取应力函数,侧面边界条件,端面边界条件,结果与材料力学相同。,扭转,9-6 空心圆截面杆的扭转,31,扭转,习题 10.1 有一根高为a 的等边三角形截面扭杆，坐标如图所示。三角形三条边AB，OA，OB的方程分别为：,试证应力函数,能满足一切条件，并求出最大剪应力及扭角。,解： 将 代入相容方程,得,即,练习题,32,扭转,故,扭杆无孔洞， 显然满足侧面边界条件 ，由杆端部边界条件,得,从而得,练习题,33,扭转,剪应力,单位长度上的扭角,练习题,34,扭转,习题 10.2 等截面杆单位长度上的扭转角为K ，剪切弹性模量为 ，若函数 ，其中 为实常量， 为待定函数。试问： 满足什么条件时， 可作为扭转问题的应力函数？,答： 若题意所给函数能作为扭转问题的应力函数，则该函数必须满足相容方程,将 代入后得,此即为 需满足的条件。,