北大附中高考数学专题复习直线和圆.docx

学科：数学教学内容：直线和圆【考点梳理】一、考试内容1有向线段。两点间的距离。线段的定比分点。2直线的方程。直线的斜率。直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程。直线方程的一般式。3两条直线平行与垂直的条件。两条直线所成的角。两直线交点。点到直线的距离。4圆的标准方程和一般方程。二、考试要求1理解有向线段的概念。掌握有向线段定比分点坐标公式，熟练运用两点间的距离公式和线段的中点坐标公式。2理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。熟练掌握直线方程的点斜式，掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式。能够根据条件求出直线的方程。3掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系。会求两条相交直线的夹角和交点。掌握点到直线的距离公式。4熟练掌握圆的标准方程和一般方程。能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程。掌握直线和圆的位置关系的判定方法。三、考点简析1有向线段。有向线段是解析几何的基本概念，可用有向线段的数量来刻划它，而在数轴上有向线段ab的数量ab=xb-xa。2两点间的距离公式。不论a(x1，y1)，b(x2，y2)在坐标平面上什么位置，都有d=|ab|=，特别地，与坐标轴平行的线段的长|ab|=|x2-x1|或|ab|=|y2-y1|。3定比分点公式。定比分点公式是解决共线三点a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x，y)之间数量关系的一个公式，其中的值是起点到分点，分点到终点的有向线段的数量之比。这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随之确定了。若以a为起点，b为终点，p为分点，则定比分点公式是。当p点为ab的中点时，=1，此时中点公式是。4直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。（2）斜率存在的直线，其斜率k与倾斜角之间的关系是k=tan。5确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)直线上已知点，k斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1a直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式ax+by+c=0，分别为斜率、横截距和纵截距a、b不能同时为零6平面上直线与二元一次方程是一一对应的。7两条直线的夹角。当两直线的斜率k1，k2都存在且k1k2 -1时，tan=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断。另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别。8怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。（1）斜率存在且不重合的两条直线l1y=k1x+b1， l2y=k2x+b2，有以下结论：l1l2k1=k2l1l2k1k2= -1（2）对于直线l1a1x+b1y+c1=0， l2a2x+b2y+c2=0，当a1，a2，b1，b2都不为零时，有以下结论：l1l2=l1l2a1a2+b1b2 = 0l1与l2相交l1与l2重合=9点到直线的距离公式。（1）已知一点p（x0，y0）及一条直线l：ax+by+c=0，则点p到直线l的距离d=；（2）两平行直线l1:ax+by+c1=0， l2:ax+by+c2=0之间的距离d=。10确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围。（1）圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径；（2）圆的一般方程：x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2-4f0），圆心坐标为（-，-），半径为r=。11直线与圆的位置关系的判定方法。（1）法一：直线：ax+by+c=0；圆：x2+y2+dx+ey+f=0。一元二次方程（2）法二：直线:ax+by+c=0；圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d=12两圆的位置关系的判定方法。设两圆圆心分别为o1、o2，半径分别为r1，r2，|o1o2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|o1o2|r1+r2两圆外离；|o1o2|=r1+r2两圆外切；| r1-r2|o1o2| r1+r2两圆相交；| o1o2 |=| r1-r2|两圆内切；0| o1o2|0，x20由解得 k23。由双曲线左准线方程 x=-1且e=2，有|am1|bm1|=e|x1+1|e|x2+1|=4x1x2+(x1+x2)+1=4(+1)=100+k2-30，|am1|bm1|100又当直线倾斜角等于时，a(4，y1)，b(4，y2)，|am1|=|bm1|=e(4+1)=10|am1|bm1|=100故 |am1|bm1|100。例2 如图9-1，已知圆c：（x+4）2+y2=4。圆d的圆心d在y轴上且与圆c外切。圆 d与y轴交于a、b两点，点p为(-3，0)。（1）若点d坐标为（0，3），求apb的正切值；（2）当点d在y轴上运动时，求apb的最大值；（3）在x轴上是否存在定点q，当圆d在y轴上运动时，aqb是定值？如果存在，求出点q坐标；如果不存在，说明理由。解 （1）|cd|=5，（o为原点）且圆d与圆c外切，圆d半径r=5-2=3，此时，a、b坐标分别为（0，0）、（0，6），pa在x轴上，且bp的斜率k=2，tanapb=2。（2）如图9-2，设d的坐标为(0，a)，圆d的半径为r，则(r+2)2=16+a2。设pa、pb的斜率为k1、k2，又a、b的坐标分别为(0，a-r)、(0，a+r)。则k1=，k2=，tanapb=由解出a2代入，得tanapb=+，而8r-6为单调增函数，r2，+。tanapb(，apb的最大值为arttan。（3）假设存在q点，设q(b，0)，qa、qb的斜率分别为k1，k2，则k1=，k2=，tanaqb=|=|=|将a2=(r+2)2 16代入上式，得tanaqb=|=|欲使aqb大小与r无关，则应有b2=12，即b=2，此时tanaqb=，aqb=60。存在q点，当圆d变动时，aqb为定值60，这q点坐标为（2，0）。例3 设正方形abcd（a、b、c、d顺时针排列）的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0（a9），c、d点所在直线l的斜率为。（1）求外接圆圆心m点的坐标及正方形对角线ac、bd的斜率；（2）如果在x轴上方的a、b两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；（3）如果abcd的外接圆半径为2，在x轴上方的a、b两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程。解 （1）由(x-3)2+y2=9-a(a0)，由于a，b两点在抛物线上， 解出：r=，p=。得抛物线方程为y2=x。由此可知a点坐标为（1，1），且a点关于m(3，0)的对称点c的坐标是(5，-1)，直线l的方程为y -（-1）=(x-5)，即x-3y-8=0。（3）将圆方程(x-3)2+y2=(2)2分别与ac、bd的直线方程：y= -(x-3)，y=2(x-3)联立，可解得a(-1，2)，b(5，4)。设抛物线方程为y2=a(x-m) (*)将a(-1，2)、b(5，4)的坐标代入(*)，得解得：a=2，m= -3，抛物线的方程为y2=2(x+3)。a(-1，2)点关于m(3，0)的对称点为c(7，-2)，故直线l的方程为y-(-2)=(x-7)，即x-3y-13=0。例4 如图9-3，已知：射线oa为y=kx(k0，x0)，射线ob为y= -kx(x0)，动点p(x，y)在aox的内部，pmoa于m，pnob于n，四边形onpm的面积恰为k.（1）当k为定值时，动点p的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；（2）根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域。解 （1）设m(a，ka)，n(b，-kb)，(a0，b0)。则|om|=a，|on|=b。由动点p在aox的内部，得0y0，y=（2）由0ykx，得0kx (*)当k=1时，不等式为0。当0k1时，由不等式得x2，x，(*)x1时，由不等式得x2，且但垂足n必须在射线ob上，否则o、n、p、m四点不能组成四边形，所以还必须满足条件yx，将它代入函数解析式，得x解得x1)，或xk（0；当0k1时，定义域为x|x1时，定义域为x|x。例5 已知函数f(x)=x2-1(x1)的图像为c1，曲线c2与c1关于直线y=x对称。（1）求曲线c2的方程y=g(x)；（2）设函数y=g(x)的定义域为m，x1，x2m，且x1x2，求证|g(x1)-g(x2)|x1-x2|;（3）设a、b为曲线c2上任意不同两点，证明直线ab与直线y=x必相交。解 （1）曲线c1和c2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数。y=x2-1，x2=y+1，又x1x=则曲线c2的方程为g(x)= (x0)。（2）设x1，x2m，且x1x2。则x1-x20。又x10， x20，|g(x1)-g(x2)|=| -|=|x1-x2|（3）设a(x1，y1)、b（x2，y2）为曲线c2上任意不同两点。x1，x2m，且x1x2，由（2）知，|kab|=|=0)，圆心o在抛物线x2=2py上运动，mn为圆o截x轴所得的弦，令|am|=d1，|an|=d2，man=。（1）当o点运动时，|mn|是否有变化？并证明你的结论；（2）求+的最大值，并求取得最大值的值。解 (1)设o(x0，y0)，则x02=2py0 (y00)，o的半径|oa|=，o的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x2-2x0x+x02-p2=0，解得xm=x0 p，xn=x0+p，|mn|=| xn xm|=2p为定值。（2）m(x0-p，0) ，n(x0+p，0) d1=，d2=，则d12+d22=4p2+2x02，d1d2=，+=2=22=2当且仅当x02=2p2，即x=p，y0=p时等号成立，+的最大值为2。此时|ob|=|mb|=|nb|（b为mn中点），又om=on，omn为等腰直角三角形，mon=90，则=mon=45。例7 已知函数y=log2(nn)。（1）当n=1，2，3时，把已知函数的图像和直线y=1的交点的横坐标依次记为a1， a2， a3，求证a1+ a2+ a3+ an1；（2）对于每一个n的值，设a n、b n为已知函数的图像上与x轴距离为1的两点，求证n取任意一个正整数时，以a n b n为直径的圆都与一条定直线相切，并求出这条定直线的方程和切点的坐标。解 原函数可化为：y=logx。（1）y=1时，可求得x=()n，即an=()n=（）n-1，an是以为首项，为公比的等比数列。a1+ a2+ a3+ an=1-0)内不为圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（ ）a相切b相交c相离d相切或相交5圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（ ）a1个b2个c3个d4个6直线x+y-1=0沿y轴正方向平移1个单位再关于原点对称后，所得直线的方程是（ ）ax+y+2=0bx-y-2=0cx+y-2=0dx-y+2=07已知两点a(-2,0),b(0,2)，点c是圆x2+y2-2x=0上的任意一点，则abc的面积最小值是（ ）a3-b3+cd8已知三条直线l1：y=x-1, l2：y=1, l3：x+y+1=0。设l1与l2的夹角为，l1与l3的夹角为，则+等于（ ）a45b75c105d1359直线（t为参数）上到点a(-2,3)的距离等于的一个点的坐标是（ ）a(-2,3)b(-4,5)c(-2-,3+)d(-3,4)10将直线x+y=1绕(1,0)点顺时针旋转90后，再向上平移1个单位与圆x2+(y-1)2=r2相切，则r的值是( )abcd111若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0对称的图形仍是其本身，则实数a=( )abc或-d-或12若圆(x-1)2+(y+1)2=r2上有仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径r的取值范围是（ ）ar1br3c1r0，得m5。（2）设m(x1,y1),n(x2,y2)，由omon得x1x2+ y1y2=0。将直线方程x+2y-4=0与曲线c：x2+y2-2x-4y+m=0联立并消去y得5x2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x1+x2=,x1x2=，又由x+2y-4=0得y= (4-x), x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1) (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0。将、代入得m=.20.解 作mcab交pq于点m，则mc是两圆的公切线，|mc|=|mq|，|mc|=|mp|，即m为pq的中点。设m(x,y)，则点c，o1，o2的坐标分别是(x,0),( ,0)（，0）。连o1m，o2m，由平几知识得：o1mo2=90，有|o1m|2+|o2m|2=|o1o2|2，即：(x-)2+y2+(x-)2+y2=(-)2,化简得x2+4y2=9。又点c(x,0)在线段ab上，且ac，bc是圆的直径