北大附中高考数学专题复习圆锥曲线.docx

学科：数学教学内容：圆锥曲线【考点梳理】一、考试内容1曲线和方程。由已知条件列出曲线的方程。充要条件。曲线的交点。2椭圆及其标准方程。焦点、焦距。椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率、准线。椭圆的画法。3双曲线及其标准方程。焦点、焦距。双曲线的几何性质：范围、对称性、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线。双曲线的画法。等边双曲线。4抛物线及其标准方程。焦点、准线。抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。抛物线的画法。5坐标轴的平移。利用坐标轴的平移化简圆锥曲线方程。二、考试要求1掌握直角坐标系中的曲线方程的关系和轨迹的概念。能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线。理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，能够初步判断给定的两个命题的充要关系。2掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质。会根据所给的条件画圆锥曲线。了解圆锥曲线的一些实际应用。对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线的交点坐标的问题（两圆的交点除外）。3理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法。4了解用坐标研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法。三、考点简析1“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中，如果某曲线c（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。2充要条件（1）对于已知条件a和条件b，若a成立则b成立，即ab，这时称条件a是b成立的充分条件。（2）对于已知条件a和条件b，若b成立则a成立，即ba，这时称条件a是b成立的必要条件。（3）若既有ab，又有ba，那么a既是b成立的充分条件，又是b成立的必要条件，这时称a是b成立的充要条件。3圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质（各选其中一种为例，其余同理研究）如下表：椭圆双曲线抛物线定义1平面内到两个定点f1、f2的距离之和等于定值2a(2a|f1f2|的点的轨迹平面内到两个定点f1、f2的距离之差的绝对值等于定值2a(02a|f1f2|，的点的轨迹平面内到定点f和定直线l的距离相等的点的轨迹定义2平面内到定点f与到定直线l的距离之比是常数e(0e1)的点的轨迹。平面内到定点f与到定直线l的距离之比是常数e(e=1)的点的轨迹。标准方程+=1(ab0)-=1(ab0)y2=2px(p0)图形顶点坐标(a,0)(0, b)(a,0)(0,0)对称轴x轴，长轴长为2ay轴，短轴长为2bx轴，实轴长为2ay轴，虚轴长为2bx轴焦点坐标(c,0)c=(c,0)c=(，0)焦距2c2c，离心率(e=)0e1e=1准线x=x=x= -渐近线，y=x，点m(x0,y0)的焦半径公式|mf右|=a-ex0|mf左|=a+ex0x0+4直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。5直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：f(x,y)=0，它们的交点为p1 (x1,y1)，p2 (x2,y2)，且由 消去yax2+bx+c=0 （a0） =b2- 4ac。则弦长公式为d=6坐标轴的平移及移轴公式坐标轴的方向和长度单位都不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫坐标轴的平移，简称移轴。移轴公式或，这里(x,y)，(x,y)，(h,k)分别为原坐标系中的坐标，新坐标系中的坐标，新原点在原坐标系中的坐标。四、思想方法1求轨迹方程的基本方法有两大类，即直接法和间接法。其中直接法包括：直译法，定义法，待定系数法，公式法等。间接法包括：转移法，参数法(k参数、t参数，参数及多个参数)等。2本节解题时用到的主要数学思想方法有：（1）函数方程思想。求平面曲线的轨迹方程，其解决问题的最终落脚点就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程或函数关系（参数法）。（2）数形结合思想。解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的。即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。（3）等价转化思想。在解决问题的过程中往往需要将一个问题等价转化为另一个较为简单的问题去求解。3避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求。所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算。所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则。因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”。【例题解析】例1 设直线l：x=，定点a(,0)，动点p到直线l的距离为d，且=。求动点p的轨迹c的方程。解 设动点p(x,y)。由题意得=，由两边平方得，x2-2x+3+y2=(x2-x+)，即x2 - x+y2=。经配方得(x-)2+y2=，即(x-)2+=1。例2 已知抛物线c的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5。若将抛物线c向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段长为原抛物线c在x轴上截得的线段长的一半；若将抛物线c向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线c的方程。解 设所求抛物线方程为(x-h)2=a(y-k)(ar,a0) 由的顶点到原点的距离为5，得=5在中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。设方程的二根为x1,x2，则|x1-x2|=2。将抛物线向上平移3个单位，得抛物线的方程为(x-h)2=a(y-k-3)令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。设方程的二根为x3,x4，则|x3-x4|=2。依题意得2=2，即 4(ak+3a)=ak 将抛物线向左平移1个单位，得(x-h+1)2=a(y-k),由抛物线过原点，得(1-h)2=-ak 由得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。所求抛物线方程为(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。例3 设椭圆+=1的两焦点为f1、f2，长轴两端点为a1、a2。（1）p是椭圆上一点，且f1pf2=60，求f1pf2的面积；（2）若椭圆上存在一点q，使a1qa2=120，求椭圆离心率e的取值范围。解 （1）设|pf1|=r1,|pf2|=r2,则r1+r2=2a。在f1pf2中，|f1f2|=2c, f1pf2=60,由余弦定理，得4c2=r12+r22 2r1r2cos60=(r1+r2)2 3r1r2,将r1+r2=2a代入，得r1r2=(a2-c2)= b2sfpf=r1r2sin60=b2=b2。（2）设点q的坐标为(x0,y0)，则b2x02+a2y02=a2b2。a1qa2=120,又不妨设a1(a,0),a2(-a,0)，tan（-a1qa2）=将x02=a2 -y02代入得= 解得,y0=-by0b b2+2ab -a20即()2+2()-0，解得，e2=1-，且e21。eb0)其中b=1。又设右焦点为(c,0)，则=3，解得c=,a=。椭圆方程为+y2=1。（2）设p为mn的中点，解方程组得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0= -12m2+36k2+120，得m2m2,解得0m0，解得m。m0 (1)又pq的中点m(xm,ym)在l上，且将xm、ym代入l的方程得=-1，即b=,代入（1）式解得：k(-,-1)（-，0）(0, )(1,+)。k（-，-1）（-，0）(0, )(1,+)时，c与c有不在l上的公共点。由于与中，k的解集的并集为实数集r，不论实数k为何值，c与c恒有公共点。例7 已知椭圆c的方程为x2+=1，点p(a,b)的坐标满足a2+1。过点p的直线l与椭圆交于a、b两点，点q为线段ab的中点，求：（1）点q的轨迹方程；（2）点q的轨迹与坐标轴的交点的个数。解 （1）设点a、b的坐标分别为a(x1,y1)、b(x2,y2)，点q的坐标为（x,y）。当x1x2时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k(x-a)+b。又已知x12+=1,x22+=1 y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 由得y1+ y2=k(x1+x2)-2ak+2b 由、及x=，y=,k=得点q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0当x1=x2时，k不存在，此时l平行于y轴，因此ab的中点q一定落在x轴上，即q的坐标为(a,0)。显然点q的坐标满足方程。综上所述，点q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0设方程所表示的曲线为l，则由得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0因为=8b2(a2+-1),又已知a2+1,所以当a2+=1时，=0，曲线l与椭圆c有且只有一个交点p(a,b)。当a2+1时，0，曲线l与椭圆没有交点。因为(0,0)在椭圆c内，又在曲线l上，所以曲线l在椭圆内。故点q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0（-1x1）。（2）由解得曲线l与y轴交于点(0,0),(0,b)。由解得曲线l与x轴交于点(0,0),(a,0)。当a=0，b=0，即点p(a,b)为原点时，(a,0)、（0,b）与(0,0)重合，曲线l与坐标轴只有一个交点(0,0)。当a=0，且0|b|1，即点p(a,b)不在椭圆c外且在除去原点的y轴上时，曲线l与坐标轴有两个交点(0，b)与(0,0)。同理，当b=0且0|a|1时，曲线成坐标轴有两个交点（a,0）,（0,0）。当0|a|1，00)s()= |pq|d=2当且仅当sin=时，即sin=,=arcsin时，等号成立。s()的最大值为2。例9 设抛物线y2=2px(p0)的焦点为f，经过点f的直线交抛物线于a、b两点，点c在抛物线的准线上，且bcx轴。证明直线ac经过原点o（2001年全国高考数学试题）证明一 如图10-4，因为抛物线y2=2px(p0)的焦点为f（，0），所以经过点f的直线ab的方程可设为x=my+;代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0。若记a(x1,y1),b(x2,y2)，则y1,y2是该方程的两个根，所以y1y2= -p2。因为bcx轴，且点c在准线x= -上，所以点c的坐标为(-,y2)，故直线co的斜率为k=。即k也是直线oa的斜率，所以直线ac经过原点o 。证明二 如图10-5，记x轴与抛物线准线l的交点为e，过a作adl，d是垂足，则adfebc。连结ac，与ef相交于点n，则=，=，根据抛物线的几何性质，|af|=|ad|，|bf|=|bc|，|en|=|nf|，即点n是ef的中点，与抛物线顶点o重合，所以直线ac经过原点o。例10如图10-6，已知梯形abcd中|ab|=2|cd|，点e分有向线所成的比例为，双曲线过c、d、e三点，且以a、b为焦点。当时，求双曲线离心率e的取值范围（2000年全国高考数学试题）。 解 如图10-7，以ab的垂直平分线为y轴，直线ab为x轴，建立直角坐标系xoy,则cdy轴。因为双曲线经过点c、d，且以a、b为焦点，由双曲线的对称性知c、d关于y轴对称。依题意，记a(-c,0),c(,h),e(x0,y0)，其中c=|ab|为双曲线的半焦距，h是梯形的高。由定比分点坐标公式得x0=,y0=设双曲线的方程为-=1，则离心率e=。由点c、e在双曲线上，将点c、e的坐标和e=代入双曲线方程得-=1 ()2-()2=1 由式得 =-1 将式代入式，整理得 (4-4)=1+2，故=1-。由题设得，1-，解得e。所以双曲线的离心率的取值范围为，。学科：数学教学内容：圆锥曲线综合能力训练【综合能力训练】一、选择题1到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23的点的轨迹是（ ）a圆b椭圆c双曲线d抛物线2椭圆x2+5y2-4x+10y+4=0的准线方程是（ ）ax=bx= -,x=cx= -,x=dx= -,x=3双曲线-=1的渐近线方程是（ ）ay=2xby=xcy=2(x-1) dy= (x-1)4以原点为顶点，椭圆c：+=1的左准线为准线的抛物线交椭圆c的右准线于a、b两点，则|ab|等于（ ）a2b4c8d165方程y2=ax+b与y=ax+b(a0)表示的图形可能是（ ）6中心在原点，焦点坐标为(0, 5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（ ）a+=1b+=1c+=1d+=17抛物线y2=2px与y2=2q(x+h)有共同的焦点，则p、q、h之间的关系是（ ）a2h=q-pbp=q+2hcqphdpqh8过定点p(0,2)作直线l，使l与曲线y2=4(x-1)有且仅有1个公共点，这样的直线l共有（ ）a1条b2条c3条d4条9已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）am2b1m2cm-1或1m2dm-1或1m10过椭圆+=1（0b0,mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（ ）a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d锐角或钝角三角形二、填空题13圆锥曲线的焦点坐标是 。14某桥的桥洞呈抛物线形(如图10-9)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为 米（精确到0.1米）15椭圆+=1的一个焦点为f1，点p在椭圆上，如果线段pf1的中点m在y轴上，那么点m的纵坐标是 。16已知椭圆+=1与双曲线-=1(m,n,p,qx|x是正实数)有共同的焦点f1、f2，p是椭圆和双曲线的一个交点，则|pf1|pf2|=。三、解答题17已知椭圆c的焦点分别为f1(-2,0)和f2(2,0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆c于a、b两点，求线段ab的中点坐标。18如图10-10，线段ab过x轴正半轴上一定点m(m,0)，端点a、b到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过a、o、b三点作抛物线，求该抛物线的方程。19把椭圆(x-1)2+=1绕它的中心旋转90后再沿x轴方向平行移动，使变换后的椭圆截直线y=x所得的线段长为，试写出变换后的椭圆方程。20已知椭圆的两个焦点分别为f1(0,-2)，f2(0,2)，离心率e=。（1）求椭圆方程；（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点m、n，且线段mn中点的横坐标为-，求直线l倾斜角的取值范围。21椭圆中心是坐标原点o，焦点在x轴上，e=，过椭圆左焦点f的直线交椭圆于p、q两点，|pq|=，且opoq，求此椭圆的方程。22已知圆c1的方程为(x-2)2+(y-1)2=，椭圆c2的方程为+=1（ab0），c2的离心率为，如果c1与c2相交于a、b两点，且线段ab恰为圆c1的直径，求直线ab的方程和椭圆c2的方程。参考答案【综合能力训练】1.c 2.b 3.d 4.d 5.c 6.c 7.a 8.c 9.d 10.c 11.b 12.b13.(-4,0) (6,0) 14.2.6 15. 16.m-p17.解 设椭圆c的方程为+=1，由题意知a=3,c=2，于是b=1。椭圆c的方程为+y2=1。由 得10x2+36x+27=0因为该二次方程的判别式0，所以直线与椭圆有两个不同交点。设a(x1,y1),b(x2,y2)则x1+x2= -,故线段ab的中点坐标为(-,)。18.解 设所求抛物线方程为 y2=2px(p0)。 若ab不垂直于x轴，设直线ab的方程为：y=k(x-m)(k0)，由，消去x，得y2-y-2pm=0设a、b的坐标分别为a(,a),b(,b)。则a,b是方程的两个根。ab= -2pm，又|a|b|=2m，即ab=-2m，由-2pm= -2m(m0)得p=1,则所求抛物线方程为y2=2x。若ab垂直于x轴，直线ab的方程为x=m,a、b两点关于x轴对称，故=2pm,2m=2pm,又m0，p=1，则所求抛物线方程为y2=2x。综上，所求抛物线方程为y2=2x。19.解 旋转后的椭圆方程为(y-1)2+=1。设平移后的椭圆方程为(y-1)2+=1。解方程组将代入后，得(x-1)2+=1。化简后,得2x2-2(a+)x+a2=0 由椭圆截直线所得线段长为有=解得a=0或a=2，并且都使方