2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第五单元第七节正弦定理和余弦定理.ppt

第七节 正弦定理和余弦定理,基础梳理,1. 设abc的三个内角a、b、c的对边分别为a,b,c,r是abc的外接圆半径. （1）正弦定理 三角形的 各边和它所对角的正弦的比相等，即 (2)正弦定理的三种形式 a= 2rsin a, b= 2rsin b,c= 2rsin c(边到角的转换); (角到边的转换);,abc=sin asin bsin c.,2. 三角形常用面积公式 (1) (h表示三角形长为a的边上的高）. (2) (3) (r为三角形的内切圆半径）.,3. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于 其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 ,即 a2= b2+c2-2bccos a , b2= c2+a2-2cacos b , c2= a2+b2-2abcos c.,余弦定理也可以写成如下形式：,4. 勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中,分别令a、b、c为90,则上述关系式分别化为：a2=b2+c2 , b2=a2+c2 , c2=a2+b2.,典例分析,题型一正弦定理和余弦定理的应用 【例1】 在abc中，已知 ,b=45，求a、c和c.,分析 已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角c与角a.,解 方法一:b=4590,且ba,此题有两解. 由正弦定理，得 a=60或a=120. (1)当a=60时，c=180-a-b=75,所以 (2)当a=120时，c=180-a-b=15, 所以,故a=60,c=75, 或a=120,c=15,方法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos b, 即 整理得 ,解得, .,当 时,由可得 ,故a=120; 当 时， 由可得 ,故a=60, 故a=60,c=75, 或a=120,c=15,学后反思 对于解三角形，若已知两边和其中一边的对角，要注意解的个数，往往需要分类讨论.用正弦定理，则对角进行分类讨论；用余弦定理，则对边进行分类讨论.,举一反三 1. 已知在abc中，a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角及角c的正弦值. 解析: acb,角a为最大角. 由余弦定理,得 ,a=120 sin a= ,再根据正弦定理，得 ,题型二 三角形的面积问题,【例2】(2008辽宁)在abc中，内角a、b、c对边的边长分别是a,b,c，已知c=2,c= .若abc的面积等于3,求a,b.,分析 分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a,b的方程，然后解方程组得a,b.,解 由余弦定理及已知条件得 -ab=4. abc的面积等于3, absin c= ,ab=4. 联立方程组 -ab=4, ab=4, 解得 a=2, b=2.,学后反思 在解决三角形问题中，面积公式s= absin c= bcsin a= acsin b最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.,举一反三,2. (2010江阳模拟）在abc中，a=4,a=30,b= ,则sabc= .,解析： 根据 -2bccos a得c=4或c=8. s= bcsin a,sabc=8 或4 . 答案： 8 或4,题型三 判断三角形的形状,【例3】在abc中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos asin b=sin c,试确定abc的形状.,分析 判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理及面积公式，运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类型.,解 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, =ab, cos c= , 0c, c= . 又a+b+c=, a+b= . 2cos asin b=sin c, 2cos asin b=sin(-a-b), 2cos asin b=sin(a+b)=sin acos b+cos asin b, sin(a-b)=0, a=b= , a=b=c= . 三角形abc为等边三角形.,学后反思 （1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角. （2）若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asin a+bsin b=csin c .,题型四 正、余弦定理的综合应用 例4. (14分) (2008哈尔滨模拟）abc中，角a,b,c的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0. (1)求角a的大小； (2)若a=3,求bc的最大值； (3)求 的值.,分析 （1）由b2+c2-a2+bc=0的结构形式，可联想余弦定理，求出cos a,进而求出a的值. （2）由a=3及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值. (3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的.,解 (1) a=1202 (2)由a= ,得b2+c2=3-bc,3 b2+c22bc(当且仅当c=b时取等号）, 3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号），4 即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为16,（3）由正弦定理，得 ,7,学后反思 (1)在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角. (2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视., 11 14,举一反三,4.在abc中，角a、b、c所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件 和 ,求a和tan b的值.,解析：由已知条件，应用余弦定理得cos a= ,故a=60. 在abc中，c=180-a-b=120-b. 由已知条件，应用正弦定理得 ,解得cot b=2,从而tan b= .,易错警示,【例】(2009济南高三统考改编)在锐角三角形abc中，若c=2b,则 的取值范围是 .,错解 由正弦定理易得 =2cos b,由于三角形为锐角三角形，故0c=2b90,得b(0,45). 故 =2cos b(2,2).,错解分析 思维不严密导致错误.显然0c=2b90是三角形为锐角三角形的必要不充分条件,还应有b+c90.,正解 =2cos b.由锐角三角形abc，c=2b两个条件可得 b , cos b ,2 2cos b . 即abac的取值范围是( , ).,考点演练,10. 在abc中，sin a+cos a= ,ac=2,ab=3,求abc的面积.,解析: sin a+cos a= cos(a-45)= , cos(a-45)= . 又0a180, a=105,sin a=sin 105=sin(45+60)= , sabc= acabsin a= 23 = .,11. （2009北京）在abc中，角a,b,c的对边分别为a,b,c，b= ,cos a= ,b= . (1)求sin c的值； （2）求abc的面积.,解析: (1)角a,b,c为abc的内角，且b= ，cos a= , c= -a,sin a= , sin c=sin( -a)= cos a+ sin a= . (2)由(1)知sin a= ,sin c= . 又b= ,b= , 在abc中，由正弦定理得a=bsin asin b= . abc的面积为 s= .,12. (2009浙江)在abc中，角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且满足cos ,abac=3. (1)求abc的面积； （2）若b+c=6,求a的值.,解析: (1)cos , cos a= ,sin a= . 又由abac=3,得bccos a=3,bc=5, sabc= bcsin a=2. (2)由(1)知，bc=5,又b+c=6, b=5,c=1或b=1,c=5. 由余弦定理,得 -2bccos a=20,a=2 .,第四节 三角函数的图象与性质(),基础梳理,1. 作y=asin(x+)的图象主要有以下两种方法： （1）用“五点法”作图. 用“五点法”作y=asin(x+)的简图，主要是通过变量代换，设z=x+,由z取 来求出相应的x，通过列表计算得出五点坐标，描点后得出图象. （2）由函数y=sin x的图象通过变换得到y=asin(x+)的图象.有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,方法一：先平移后伸缩 y=sin x 向左(0)或向右（0） y=sin(x+) 横坐标变为原来的 倍,平移|个单位,纵坐标不变,纵坐标变为原来的a倍,横坐标不变,y=asin(x+).,y=sin(x+).,方法二：先伸缩后平移 y=sin x y=sin x,横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,向左（0）或向右(0),平移 个单位,y=sin(x+).,纵坐标变为原来的a倍,横坐标不变,y=asin(x+).,2. y=asin(x+)(a0,0),x0,+)表示一个振动量时，a叫 振幅， 叫 周期， 叫 频率，x+叫 相位，x=0时的相位称为 初相 .上述概念是在a0且0的 前提下的定义,否则当a0或0,则就不能称为初相.,题型一 三角函数y=asin(x+)的图象 【例1】 已知函数 (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明 的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.,典例分析,分析 （1）由振幅、周期、初相的定义即可解决. （2）五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点. （3）只要看清由谁变换得到谁即可.,解 (1) 的振幅a=2,周期t=,初相 (2)令,(3)方法一：把y=sin x的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 的图象，再把 的图象上的点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）,得到 的图象，最后把 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到 的图象.,方法二：将y=sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y=sin 2x的图象；再将y=sin 2x的图象向左平移 个单位，得到 的图象；再将 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到 的图象.,学后反思 （1）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象. （2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 来确定平移单位.,举一反三,1. 已知函数f(x)=2sin x(sin x+cos x). （1）求函数f(x)的最小正周期和最大值； （2）在直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间 上的图象.,解析: (1)f(x)=2 +2sin xcos x=1-cos 2x+sin 2x =1+ （sin 2xcos -cos 2xsin ） =1+ sin（2x- ）, 所以函数f(x)的最小正周期为,最大值为1+ . (2)由(1)知,故函数y=f(x)在区间 上的图象是,题型二 三角函数y=asin(x+)的解析式,【例2】已知正弦函数y=asin(x+)(a0,0)的图象如右图所示. （1）求此函数的解析式f1(x); (2)求与f1(x)图象关于直线x=8对称的曲线的解析式f2(x).,分析 (1)由图象得振幅a= ,曲线是先上升后下降，所以(-2,0)是第一零点，从而t=26-(-2)=16. (2)函数的对称转化为点的对称，利用“转移法”求解.,解 (1)由图象可知，a= , =2(6+2)=16,= , 即y= sin x+,将x=2,y= 代入， 得 = sin( 2+), 即sin( +)=1,解得= . f(x)= sin( x+ ). (2)设（x,y）是f1(x)图象上的任意点，与它关于直线x=8对称的点为(x,y), 则 代入y=f1(x)中, 得 , f2(x)= .,学后反思 (1)在由图象求解析式时，“第一零点”的确定是很重要的，尽量使a取正值，由f(x)=asin(x+)(a0,0)的一段图象求其解析式时，a比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法: (i)如果图象明确指出了周期t的大小和“零点”坐标，那么由 即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0,则令x0+=0（或x0+=）即可求出.,(ii)代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式,再结合图形解出和.若对a，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. （2）利用图象特征确定函数解析式y=asin(x+)+k或根据代数条件确定解析式时，要注意以下几种常用方法： (i)振幅a= (ymax-ymin). (ii)相邻两个最值对应的横坐标之差，或者一个单调区间的长度为 ，由此推出的值. (iii)确定值，一般用给定特殊点坐标代入解析式确定.,举一反三 2. (2009江苏模拟) 函数y=asin(x+)(0,| ,xr)的部分图象如图所示，则函数表达式为_.,解析： 由图象可知，a=-4, =8, 设 ,代入最低点坐标（2,-4）,可得,答案：,题型三 三角函数y=asin(x+)模型,【例3】如图，某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数y=asin(x+)+b. （1）求这一天的最大用电量及最小用电量； （2）写出这段曲线的函数解析式.,分析 在实际背景中抽取出基本的数学关系是解题的关键所在.,解 (1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度. （2）观察图象可知，从814时的图象是y=asin(x+)+b的半个周期的图象. a= (50-30)=10,b= (50+30)=40. =14-8= ,= , y=10sin( x+)+40, 将x=8,y=30代入上式，解得= . 所求解析式为y=10sin( x+ )+40,x8,14.,学后反思 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型； 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.,举一反三,3. 右图为游览车的示意图，该游览车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一周，图中oa与地面垂直，以oa为始边，逆时针转动角到ob,设b点与地面距离为h. (1)求h与间关系的函数解析式； （2）设从oa开始转动，经过t秒到达ob,求h与t之间的函数解析式.,解析： （1）由已知作图，过点o作地面平行线on，过点b作on的垂线bm交on于m点，当 时，bom=- . h=|oa|+0.8+|bm| =4.8sin(- )+5.6, 经验证当0 时，上述关系也成立. （2）点a在o上逆时针运动的角速度是 (已知60秒转动一周)， t秒转过的弧度数为 t. h=4.8sin( t- )+5.6,t0,+).,题型四 三角函数y=asin(x+)的综合应用 【例4】 (14分) (2008山东）已知函数 为偶函数，且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 的值；,（2）将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.,分析 （1）先把函数化成f(x)=asin(x+)的形式，再利用奇偶性和对称性求出函数f(x)的解析式，进而求出 (2)利用函数图象的变换确定出新函数y=g(x)的解析式，再求出其单调递减区间.,解 因为f(x)为偶函数，所以对任意xr,f(-x)=f(x)恒成立,因此 即 整理,得 因为0,且xr,所以,又因为0,故,所以,由题意得 ,所以=2,故f(x)=2cos 2x. 因此,(2)将f(x)的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象. 所以 当2k 2k+(kz), 即4k+ x4k+ (kz)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为,学后反思 本题是一个三角函数的综合题，综合考查了三角函数的奇偶性、对称性、单调区间的求解，还有图象的平移问题.解题的关键是明确正弦函数图象的对称性与周期性之间的关系，一般地，正余弦函数图象相邻的两条对称轴（或两个相邻的对称中心）的距离等于函数的半个周期，因此，正弦函数和余弦函数图象上任意两条对称轴（或两个对称中心）之间的距离为 其中t为函数的最小正周期；正余弦函数图象的任一条对称轴与它相邻的对称中心之间的距离恰好是周期的14，所以正余弦函数图象的任一条对称轴和任意一个对称中心之间的距离是,举一反三,4. 已知函数f(x)=sin（x+ ）+sin（x- ）- ,xr(其中0). (1)求函数f(x)的值域； （2）若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为 ，求函数y=f(x)的单调增区间.,解析：（1）f(x)= 由-1sin(x- )1, 得-32sin(x- )-11. 可知函数f(x)的值域为-3,1. (2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为,又由0,得 =,即得=2. 于是有f(x)=2sin(2x- )-1, 再由2k- 2x- 2k+ (kz), 解得k- xk+ (kz). 所以y=f(x)的单调增区间为k- ,k+ (kz).,易错警示,【例】 函数 的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 所得函数解析式为. 错解 方法一： 将原函数图象向右平移 个单位长度,得,再压缩横坐标得,方法二：将原函数图象向右平移 个单位长度,得 再压缩横坐标得 方法三：将原函数图象向右平移 个单位长度,得 再压缩横坐标得,错解分析 这三种解法都是错误的,其原因在于没有抓住变换的对象.方法一在平移变换时把5x看做变换的对象；方法二在伸缩变换时把 看成了变换的对象；方法三则犯了上述两种错误，即把5x看做变换的对象，又把 看成了变换的对象.事实上，无论是平移变换还是伸缩变换，都应紧紧抓住变元是谁这个关键.在本例中，变元x才是变换的对象，图象向右平移 个单位，是将自变量x减去 个单位长度，即将x换成 其余的不变，压缩横坐标到原来的 ，是将x换成2x，其余的不变.,正解 将原函数向右平移 个单位长度，所得函数解析式为,考点演练,10. 关于x的方程 -xcos aco