2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第六单元第一节平面向量的概念及其线性运算.ppt

第一节 平面向量的概念及其线性运算,基础梳理,1. 向量的有关概念及表示法,大小,方向,长度,模,0,0,1,e,相同,相反,平行,ab,平行,相等,相同,a=b,相等,相反,-a,0,2. 向量的线性运算,b+a,a+(b+c).,三角形,平行四边,三角形,a+(-b),3. 向量共线定理 非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数,使 .,b=a (a0),相同,相反,0,a+a,a+b,典例分析,题型一 平面向量的有关概念 【例1】给出下列五个命题 两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; 若|a|=|b|,则a=b; 在abcd中,一定有 ; 若m=n,n=p,则m=p; 若ab,bc,则ac. 其中正确的序号是_.,分析 在正确理解有关概念的基础上,注意特殊的情况,是解 决本题的关键.,解 两个向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,所以不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故不正确;零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故不正确.正确. 学后反思 (1)着重理解向量以下几个方面: 向量的模;向量的方向;向量的几何表示;向量的起点和终点. (2)判定两个向量的关系时,要特别注意以下两种特别的情况: 零向量与任何向量共线；单位向量的长度为1，方向不固定.,举一反三,1.已知下列命题： 如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a,b 中的一个方向相同； 在abc中，必有 若 ，则a,b,c为一个三角形的三个顶点； 若a与b均为非零向量，则 一定相等。 其中真命题的序号为 。,解析： 错误，a+b=0时，就不满足结论。正确， . 错误，a,b,c三点还 可以共线。错误，只有a与b同向时才相等。,答案： ,分析 在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢,即 用 来分别表示待求的向量.,题型二 平面向量的线性运算,证明 ad=ac+cd,ad=ab+bd, 2ad=ac+ab+cd+bd, 即2ad=ac+ab. 同理2be=ba+bc,2cf=ca+cb. 所以2(ad+be+cf) =ac+ab+ba+bc+ca+cb=0. 故ad+be+cf=0. 学后反思： 平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意: (1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.,(2)注意特殊点的应用.如线段ab的中点为p,则有 (其中o为任一点).,举一反三,2.已知abcd， ,若 用a,表示,解析： 如图,题型三 向量的共线问题 【例3】 设两非零向量a和b不共线,如果ab=a+b,cd=3(a-b),bc=2a+8b.求证:a、b、d三点共线. 分析 用向量法证明a、b、d三点共线,可以利用共线向量定理,得到bd=ab(或ad=ab等),bdab说明直线bd和ab平行或重合;因为有公共点b,所以只能重合，从而由向量共线推出三点共线. 证明 bc=2a+8b,cb=-2a-8b, bd=cd-cb=3a-3b+2a+8b=5(a+b), bd=5ab.,由向量共线定理得bdab,又直线ab和bd有公共点b,因此a、b、d三点共线.,学后反思 (1)向量共线的充要条件中要注意当两个向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决;但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.解题中应强调“直线ab和bd有公共点b”这一步骤.,举一反三 3. 设两个非零向量e1,e2不共线,已知ab=2e1+ke2, cb=e1+3e2,cd=2e1-e2.若a、b、d三点共线,试求k的值. 解析： bd=cd-cb=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2.若a、b、d三点共线,则abbd;从而存在唯一实数,使ab=bd,即k的值为-8时,a、b、d三点共线.,即2e1+ke2=(e1-4e2),整理得(2-)e1=-(k+4)e2, e1、e2不共线,题型四 向量知识的综合应用 【例4】（14分) 已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2, 其中e1,e2为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数,使向量d=a+b与c共线? 分析 运用向量共线的条件,确定是否存在实数k,使得d=kc.,解 d=a+b=(2e1-3e2)+(2e1+3e2) =(2+2)e1+(3-3)e2 4 要使cd,则应存在实数k,使d=kc, 6 即(2+2)e1+(3-3)e2=k(2e1-9e2)=2ke1-9ke2, 8 e1,e2不共线, 故存在这样的实数,只要满足=-2,就能使d与c共线14,学后反思 设 不共线,若 则有 ,本题正是利用这一结论构造方程组来求解的.,举一反三 4. 已知abc的三个顶点a、b、c及平面内一点p满足pa+pb+pc=0,若实数满足ab+ac=ap,求的值. 解析： ab+ac=ap, pb-pa+pc-pa=ap, 即pb+pc-2pa=ap. 又pa+pb+pc=0, pb+pc=-pa, -3pa=ap=-pa, =3.,考点演练,10.已知直线x=x=a与圆 交与a,b两点，且 ， 其中o为坐标原点，求实数a的值。,解析： 如图所示，以oa.ob为边作oabc，则由 得： oabc为矩形。 由图像得，直线y=-x+a在轴上的截距为2. a=2,11.在四边形abcd中，e,f分别是ad和bc的中点，求证：,方法二：取bd的中点o,则,证明: 方法一：如图，连接ec，eb，则 而,12.(2009江苏模拟)已知o为坐标原点，a（0，2），b（4，6）， （1）求证：当时，不论为何实数，a,b,m三点共线； （2）若 ，求当 且abm的面积为12时a的值,解析： （1） 当 时， a,m,b三点共线。,(2)当 时， 故 点m 到直线ab:x-y+2=0的距离为 解得a=2 ，故所求a的值为2.,第三节 等比数列,基础梳理,1. 等比数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母q表示. 2. 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式an= a1qn-1 ,这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比. 3. 等比中项 如果 a,g,b成等比数列 ，那么g叫做a与b的 等比中项.,4. 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am qn-m (n,mn*). (2)若an为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、nn*),则 akal= aman. (3)若an,bn（项数相同）是等比数列，则 (bn0)仍是等比数列.,5. 等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为sn，当q=1时，sn=na1;当q1时，sn= a1+a1q+a1qn-1，即,6. 等比数列前n项和的性质 等比数列an的前n项和为sn,则sn,s2n-sn,s3n-s2n仍成等比数列.,题型一 等比数列的基本运算 【例1】设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40,前2n项和为3 280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项. 分析 利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即可，但是需注意的是应分q=1和q1两种情况讨论. 解 若q=1，则na1=40,2na1=3 280，矛盾.,得1+qn=82,qn=81. 将代入，得q=1+2a1. 又q0,qn=81,q1,an为递增数列. an=a1qn-1=27. 由、得q=3,a1=1,n=4. a2n=a8=137=2 187. 学后反思 在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行讨论.,解析: a9+a10=a, a9(1+q)=a, 又a19+a20=b,a19(1+q)=b, 由 得 则a99(1+q)=x, 由 得 答案:,举一反三 1.(2009潍坊模拟)在等比数列 中, (a0), 则 =_.,题型二 等比数列的判定 【例2】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nn*). (1)求证：数列an+1是等比数列; (2)求通项公式an. 分析 利用等比数列的定义证明 为非零常数即可. 解 (1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1) an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列. (2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n-1.,学后反思 等比数列的判定方法主要有： (1)定义法: (q是不为0的常数，nn*)； (2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nn*); (3)中项公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不为零，nn*); (4)前n项和公式法： 是常数，且q0,q1).,举一反三 2. (2010合肥质检)已知数列 的前n项和为 ,数列 是公比为2的等比数列.求证：数列 成等比数列的充要条件是,证明：数列 是公比为2的等比数列, 即 ,n=1, n=1 ,n2, n2 显然，当n2时， 充分性:当 时， ,所以对nn*,都有 ,即数列 是等比数列. 必要性:因为 是等比数列，所以 ,即 ,解得,题型三 等比数列的性质 【例3】 (1)在等比数列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值； (2)已知一个等比数列的前四项之积为 ,第2、3项的和为 ,求这个等比数列的公比.,分析 (1)利用等比数列的性质求解. （2）注意4个数成等比数列的设法. 解 （1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.,(2)依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3, 则 学后反思 在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.,举一反三 3. (1)在等比数列an中，s4=1,s8=3,求a17+a18+a19+a20的值. (2)在等比数列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.,解析： （1）s4,s8-s4,s12-s8,s16-s12,s20-s16成等比数列，而s4=1，s8-s4=2， a17+a18+a19+a20=s424=124=16. （）a3a5=a24, a3a4a5=a34=8, a4=2. 又a2a6=a3a5=a24, a2a3a4a5a6 =32,题型四 等比数列的最值问题 【例4】(14分)等比数列an的首项为a1=2 008，公比. (1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式; (2)当n取何值时，f(n)有最大值？,分析 （1）求出等比数列的通项公式an，然后根据f(n)=a1a2a3an求f(n)的表达式. （2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题.,解,当n=12时，f(n)有最大值为 学后反思 只要明确a1的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和,但是对于求等比数列前n项和的最值问题的方法有:一是用定义，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.,举一反三 4. （2009潍坊模拟）已知等比数列bn与数列an满足bn= （nn*）. (1)判断an是何种数列，并给出证明； (2)若a8+a13=m,求b1b2b20; (3)若b3b5=39,a4+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值. 解析: (1)证明:设bn的公比为q, bn=3an, 3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q, an是以a1为首项，log3q为公差的等差数列.,（2）a8+a13=m, 由等差数列的性质，得a1+a20=a8+a13=m. (3)由b3b5=39,得a3+a5=9.,易错警示,【例1】(2010临沂质检)已知数列 中， ,前n项的和为 ,对任意的自然数n2， 是 与 的等差中项. （1）求 的通项公式; (2)求,错解(1)由已知得 , 又 ,得 , 两式相减得 ,故 , 又 ,故 (2)由于 是首项为1，公比为 的等比数列， 故,错解分析 错解(1)主要忽视了 成立的前提n2,只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列 an是否为等比数列还需验证 是否等于 ，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视.,正解(1)由已知，当n2时， . 又 , 由、得 (n2), 上两式相减得 , 成等比数列， 其中 ,即