固体物理第4章能带理论1.ppt

第四章 能带理论 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别原子，而是在 整个固体内运动（这要求电子的平均自由程远大于晶格常数），称为 共有化电子。 能带理论是近似理论。由于固体中大量电子的运动是相互关联的， 每个电子的运动受到其他电子和原子的影响，在如此大量粒子的多体 系统严格求解是不可能的。大多数情况下我们关心的是价电子的运动 状态，在单原子结合成固体的过程中价电子的运动状态发生大的变化 ，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实。 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子 ，又称为哈特里（Hartree）-福克（ ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；,2、哈特里-福克自洽场方法：每个电子是在固定的离子势场以及其他电子的平均势场中运动；3、所有的离子势场和其他电子的平均场是周期性的势场。 对于三维的周期场中的单电子问题只能用各种近似方法求解。通常1、选取某个布洛赫函数形式的集合作为完备的基本函数族，2、把晶体电子的波函数用此函数的集合展开，然后代入薛定谔方程，3、确定展开式的系数所满足的久期方程，据此求能量本征值，4、再依照逐个本征值确定波函数展开式的系数。不同的方法仅在于选择不同的函数集合。 能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。,4-1 布洛赫定理 对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，由此 等效势场,也具有周期性，晶体中的共有化电子所满足的波动方程,在坐标表象中为：,这里,为正格子空间是格矢量，考虑的是定态薛定谔方程。,布洛赫定理指出：当势场具有周期性时，波函数具有如下形式：,即波函数是按晶格周期函数调幅的平面波。具有该形式的函数又称为 布洛赫函数。,布洛赫定理的证明,如果用,代表使位矢,平移到,的平移操作算符（,为,格矢），则单电子在周期性势场中的势能具有：,在周期场中运动的单电子满足的定态薛定谔方程为：,其中：,为体系哈密顿量。,对于任意函数,在平移算符的作用下有：,由此可知体系哈密顿量和平移算符是对易的，即,根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 为共同本征态。,采用波恩-卡曼周期性边界条件有：,这里,分别为,在本征态,的本征值；,分别为正格子空间的基矢。,由上式可以得到：,取,的整数，,引入倒矢量：,，则有：,于是：,=,这里,为简约波矢，可将其限制在简约布里渊区内取值，其在倒格子,空间的取值点是均匀分布的，其在每一个布里渊区取值