学案2一元二次不等式.ppt

考点一,考点二,考点三,考点四,返回目录,1.形如 或 的不等式（其中a0）,叫作一元二次不等式. 使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个 .一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个 .,一元二次不等式的解集,ax2+bx+c0(0),ax2+bx+c0(0),一元二次不等式的解,返回目录,2.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，如下表:,x|xx2,x|x1xx2,=,x|xx0,xR,R,返回目录,解下列不等式： （1） -x2-2x- 0; 8x-116x2. （2）解关于x的不等式：ax2-（a+1）x+10.,考点一 一元二次不等式解法,返回目录,【分析】 (1)题可直接按一元二次不等式的步骤进行求解.（2）题可先分解因式，求出对应方程的根，然后对根的大小进行讨论，从而得不等式的解.,【解析】（1）两边都乘以-3，得3x2-6x+20, 30,且方程3x2-6x+2=0的解是 x1=1- ,x2=1+ , 不等式的解集是 x|1- x1+ . 8x-116x2 16x2-8x+10 (4x-1)20, xR,不等式的解集为R.,返回目录,(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)0, 当a=0时,不等式的解为x1, 当a0时，不等式变为a(x- )(x-1)0, 若a0,则(x- )(x-1)0, x 或x1.若a0,则(x- )(x-1)0, 当a1时,解为 x1; 当a=1时,解集为; 当0a1时,解为1x .,返回目录,综上,当a0时,不等式的解集为 x|x 或x1 ; 当a=0时,不等式的解集为x|x1; 当0a1时,不等式的解集为 x|1x ; 当a=1时，不等式的解集为; 当a1时，不等式的解集为 x x1 .,解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论；首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据根是否存在，即的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论.,返回目录,对应演练,1.解不等式: (-x2+ ) (x2-9)-3x.,返回目录,2.已知不等式 0(aR). (1) 解这个关于x的不等式； (2)若x=-a时不等式成立，求a的取值范围.,1.原不等式可化为- x2+ x2- -3x,即2x2-3x-70. 解方程2x2-3x-7=0,得x= . 所以原不等式的解集为 x x .,返回目录,返回目录,2.(1)原不等式等价于（ax-1）（x+1）0. 当a=0时，由-（x+1）0,得x-1; 当a0时，不等式化为(x- )（x+1）0, 解得x-1或x ； 当a0时，不等式式化为(x- )（x+1）0; 若 -1,即-1a0,则 x-1; 若 =-1，即a=-1，则不等式解集为空集； 若 -1,即a-1,则-1x .,综上所述，a-1时，解集为 x|-1x ; a=-1时，原不等式无解； -1a0时，解集为 x x-1 ; a=0时,解集为x|x-1; a0时,解集为 xx-1或x . (2)x=-a时不等式成立, ,即-a+10,a1, 即a的取值范围为a1.,返回目录,返回目录,已知f（x）=x2-2ax+2，当x-1,+)时，f（x）a恒成立，求a的取值范围.,【分析】 可以从函数的角度进行考虑，转化为函数求最值问题，也可以从方程的角度考虑，可转化为对方程根的讨论.,考点二 不等式恒成立问题,【解析】解法一：f（x）=（x-a）2+2-a2， 此二次函数图象的对称轴为x=a. 当a(-,-1)时，结合图象知，f（x）在-1,+）上单调递增，f（x）min=f(-1)=2a+3, 要使f（x）a恒成立，只需f（x）mina, 即2a+3a,解得a-3, 又a-1, -3a-1;,返回目录,当a-1,+)时，f（x）min=f(a)=2-a2, 由2-a2a,解得-2a1, 又a-1,-1a1. 综上所述，所求a的取值范围为-3a1.,返回目录,解法二：由已知得x2-2ax+2-a0在-1,+)上恒成立， 0 a-1 f(-1)0, 解得-3a1.,即=4a2-4（2-a）0 或,返回目录,解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解.,返回目录,对应演练,已知不等式（m2+4m-5）x2-4（m-1）x+30对一切 实数x恒成立，求实数m的取值范围.,若m2+4m-5=0，则m=1或m=-5.显然m=1符合条件，此时原不等式为恒成立的不等式30.m=-5不符合条件. 若m2+4m-50，则原命题等价于 m2+4m-50 16(m-1)2-12(m2+4m-5)0. 解得1m19. 综上，实数m的取值范围是1,19）.,返回目录,考点三 分式不等式与高次不等式解法,返回目录,解下列不等式: (1)2x3-x2-15x0; (2)(x+4)(x+5)2(2-x)30; (3),【分析】将多项式分解，用“数轴标根”法，要特别注意对重根情况的处理.较复杂分式不等式,应化成分式不等式的标准形式，即左边为分式，右边为0的形式.再等价转化为整式不等式求解.,返回目录,【解析】（1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)0.把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根x1=0,x2=- ，x3=3顺次标在数轴上，然后从右开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图所示的阴影部分. 原不等式的解集为x|- x0或x3.,返回目录,(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)30 x+50 x-5 (x+4)(x-2)0 x-4或x 2，其解集如图的阴影部分. 原不等式的解集为x|x-5或-5x-4或x2.,返回目录,(3)解法一：原不等式等价变形为 即为 即为 即等价变形为 (2x-1)(x+1)(x+3)(x-1)0, x-3且x1.可得原不等式的解集为 x|x1.如图所示阴影部分.,返回目录,解法二：原不等式等价变形为 . 2x2+x-10 x2+2x-30 2x2+2x-10 x2+2x-31或-1x . 综上知原不等式的解集为 x|x-3或-1x 或x1,或,又等价变形为,返回目录,（1）分式不等式一般化为高次不等式求解： 0 f(x)g(x)0; 0 f(x)g(x)0; f(x)g(x)0 g(x)0; f(x)g(x)0 g(x)0; ,若g（x）恒为正（或负）去分母求 解，否则化为 0求解. （2）高次不等式一般化为形如（x-a1）（x-a2）（x-an）0的形式用穿根法., 0, 0,返回目录,对应演练,解下列不等式： （1） （x+2）（x2-x-12）0; （2） .,（1）解法一：原不等式化为(x+2)(x+3)(x-4)0.,返回目录,由上表可知，原不等式的解集为x|x4或-3x-2.,解法二：由解法一的列表可知，（x+3）（x+2）（x-4）的符号在三个零点-3，-2，4处交替变换，由此可提炼出下面的穿根法： 将零点-3，-2，4标在数轴上，然后用一条光滑的曲线从x轴的右端的上方起，依次穿过这些零点，则不等式（x+3）（x+2）（x-4）0的解即为曲线在x轴上方所对应的x的值. 不等式的解集为x|x4或-3x-2.,返回目录,返回目录,设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）0,f(1)0,求证： （1）a0且-2 -1; （2）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根.,【分析】由f（0）0,f(1)0入手，建立a，b之间的关系.,考点四 三个二次之间的关系,返回目录,【解析】 (1)f(0)0,f(1)0, c0,3a+2b+c0. 由条件a+b+c=0,消去b,得ac0; 由条件a+b+c=0,消去c,得a+b0, 故-2 -1.,(2)二次函数f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为 在-20,f(1)0, 而f( )= , 方程f(x)=0在区间(， )与( ,1)内分别有一实根. 故方程f(x)=0在（0，1）内有两个实数根.,返回目录,(1)二次函数的图象与x轴的位置关系,需要研究二次方程的的值,分0,=0,0的解 y=ax2+bx+c图象上的点P(x,y)，其中y0，即x轴上方的点；ax2+bx+c0的解y=ax2+bx+c图象上的点P(x,y)，其中y0,即x轴下方的点.,返回目录,对应,对应,对应,对应演练,已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f(x) -2x的解集为（1，3）. （1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围.,返回目录,返回目录,(1)因为f（x）+2x0的解集为（1，3）， 所以f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a0. 因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a. 由方程f（x）+6a=0，得 ax2-（2+4a）x+9a=0. 因为方程有两个相等的根， 所以=-(2+4a)2-4a9a=0， 即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=- . 由于a0,舍去a=1. 将a=- 代入得f（x）的解析式f（x）=- x2- x- .,返回目录,（2）由f（x）=ax2-2（1+2a）x+3a=a - 及a0, 可得f（x）的最大值为 . 0, a0, 故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是（