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文档简介

第五章 定积分及其应用,第一节 定积分的概念及性质,二、定积分的概念与几何意义,定义,一、问题的提出,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,三、存在定理,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,五、定积分性质,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,性质2,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,性质3,性质4,性质5,性质6（定积分中值定理）,第二节 微积分基本公式,考察定积分,记,积分上限函数,二、 积分上限函数及其导数性质,变上限函数,一、问题的提出,积分上限函数的性质,则,积分下限函数,变下限函数,则,例,解,解,例 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,例,例,练习,求下列函数的导数,（2）,（1）,（3）,（5）,（4）,定理 3（微积分基本公式）,三、 牛顿莱布尼茨公式,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,如：,不可以使用N-L公式,例 求,解,（4）,（3）,例,（2）,（1）,第三节 定积分计算,定理,一、 定积分的换元法,例 计算,解,令,证,例：,例：,解：,令,或,证,（1）设,（2）设,四、定积分的分部积分法,例 计算,解,令,则,例：,例：,解：,令,第四节 定积分的应用,曲边梯形求面积的问题,一、定积分的元素法,1、问题的提出,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,二、 平面图形的面积,1、直角坐标系情形,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,小结,（1）面积与曲线位置无关,（2）思想：将微元“和”起来，即微元法（元素法，微元分析法）,同理,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,三、旋转体的体积,以x轴为旋转轴所得旋转体的体积为,以y轴
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