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文档简介

4.1 数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,设离散型随机变量X的分布律为 PX=xi=pi，i=1,2, 若级数xipi绝对收敛，则称其为随机变量X的数学期望（期望或均值），记为E(X)，即 E(X)= xipi 例1 设X b(1,p)，求E(X)。 例2 设X ()，求E(X)。,一、离散型随机变量的数学期望,例3 甲乙两工人每天生产出相同数量同种类型的产品，用X1，X2分别表示甲乙两人某天生产的次品数，经统计得到以下数据，试比较他们的技术水平的高低。,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x)，在数轴上取很密的分点x0x1x2，则X落在小区间xi, xi+1)上的概率,二、连续型随机变量的数学期望,此时，概率分布 可视为X的离散近似，服从上述分布的离散型随机变量的数学期望为,二、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若 绝对收敛，则称该积分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即 并非所有的随机变量都有数学期望。如柯西分布。,二、连续型随机变量的数学期望,例4 设随机变量X在区间(a, b)内服从均匀分布，求E(X)。 例5 设X服从参数为（0）的指数分布，求E(X) 。 例6 设X服从Cauchy分布，求E(X) 。,三、随机变量函数的数学期望,定理 设X是一个随机变量，Y=g(X)，且E(Y)存在，则 （1）若X为离散型随机变量，其概率分布为PX=xi=pi （i=1,2,），则Y的数学期望为 （2）若X为连续型随机变量，其概率密度为f(X) ，则Y的数学期望为,三、随机变量函数的数学期望,意义：求Eg(X)时，不必知道g(X)的分布，只需知道X的分布即可。这给求随机变量函数的数学期望带来很大的方便。 例8 设随机变量X的分布律如下，求随机变量函数Y=X2的数学期望。,三、随机变量函数的数学期望,例9 设随机变量X在区间(0，)内服从均匀分布，求随机变量函数Y=sinX的数学期望。 例10 设XN(0,1)，求E(X)，E(X2)。,四、数学期望的性质,1.设C是常数，则E(C)=C。 2.设
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