高中数学第一章三角函数的图象与性质（第3课时）正切函数的性质与图象教案.docx

第3课时正切函数的性质与图象 核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P42P45的内容，回答下列问题(1)正切函数ytan x的定义域是什么？提示：.(2)诱导公式tan(x)tan x说明了正切函数的什么性质？tan(kx)(kZ)与tan x的关系怎样？提示：周期性tan(kx)tan x(kZ)(3)诱导公式tan(x)tan x说明了正切函数的什么性质？提示：奇偶性(4)从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？提示：不是，正切函数没有最大值和最小值(5)从正切线上观察正切函数值，在上是增大的吗？提示：是的2归纳总结，核心必记(1)正切函数的性质函数ytan x定义域值域(，)周期最小正周期为奇偶性奇函数单调性在每个开区间(kZ)上都是增函数(2)正切函数的图象正切函数的图象：正切函数的图象叫做正切曲线正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线xk，kZ所隔开的无穷多支曲线组成的问题思考(1)正切函数在整个定义域上都是增函数吗？提示：不是正切函数在每一个开区间(kZ)上是增函数但在整个定义域上不是增函数(2)可以怎样快速作出正切函数的图象？提示：正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(k，0)，kZ，两线为直线xk和直线xk，其中kZ.课前反思(1)正切函数的图象： ；(2)正切函数的性质： .知识点1正切函数的定义域、值域问题讲一讲1求下列函数的定义域和值域：(1)ytan；(2)y.尝试解答(1)由xk(kZ)得，xk，kZ，所以函数ytan的定义域为，其值域为(，)(2)由tan x0得，tan x.结合ytan x的图象可知，在上，满足tan x的角x应满足x，所以函数y的定义域为，其值域为0，)类题通法求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即xk，kZ.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解解形如tan xa的不等式的步骤：练一练1(1)函数ylg(1tan x)的定义域为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)函数y的值域是_解析：(1)由题意得即1tan x1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又ytan x的最小正周期为，所以所求函数的定义域是(kZ)(2)tan2x2tan x2(tan x1)211，0y1，即函数的值域为(0,1答案：(1)A(2)(0,1知识点2正切函数的单调性及应用讲一讲2(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小尝试解答(1)由kxk(kZ)得，2kx2k，kZ，所以函数ytan的单调递增区间是(kZ)(2)由于tantantan tan ，tantantan，又0，而ytan x在上单调递增，所以tantan，tantan，即tantan.类题通法(1)求函数yAtan(x)(A，都是常数)的单调区间的方法若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，求得x的范围即可若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可(2)运用正切函数单调性比较大小的方法运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内运用单调性比较大小关系练一练2(1)比较tan 1，tan 2, tan 3的大小；(2)求函数y3tan的单调区间解：(1)因为tan 2tan(2)，tan 3tan(3)又因为2，所以20.因为3，所以30.显然231，又ytan x在内是增函数，所以tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3tan 1.(2)y3tan3tan，由k2xk得，x(kZ)，所以y3tan的单调递减区间为(kZ).知识点3与正切函数有关的奇偶性、周期性问题讲一讲3(1)求f(x)tan的周期；(2)判断ysin xtan x的奇偶性尝试解答(1)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.(2)定义域为，关于原点对称，f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，它是奇函数类题通法正切型函数yAtan(x)的周期性、奇偶性(1)一般地，函数yAtan(x)的最小正周期为T，常常利用此公式来求周期(2)若函数yAtan(x)为奇函数，则k或k(kZ)，否则为非奇非偶函数练一练3关于x的函数f(x)tan(x)有以下几种说法：对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；f(x)的图象关于对称；f(x)的图象关于(，0)对称；f(x)是以为最小正周期的周期函数其中不正确的说法的序号是_解析：若取k(kZ)，则f(x)tan x，此时，f(x)为奇函数，所以错；观察正切函数ytan x的图象，可知ytan x关于(kZ)对称，令x得x，分别令k1,2知、正确，显然正确答案：课堂归纳感悟提升1本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用2本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(k，0)，其中kZ.两线为直线xk(kZ)，直线xk(kZ)3要掌握与正切函数性质有关的三个问题(1)与正切函数有关的定义域、值域问题，见讲1；(2)正切函数的单调性及应用，见讲2；(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题，见讲3.4本节课的易错点有两处(1)易忽视正切函数ytan x的定义域为，如讲1的第(1)题(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴课下能力提升(十)学业水平达标练题组1正切函数的定义域、值域问题1函数y的定义域是()A.B.C.D.解析：选C要使函数有意义，只需logtan x0，即0tan x1.由正切函数的图象知，kxk，kZ.2函数f(x)2tan xm，x有零点，则实数m的取值范围是_解析：函数f(x)2tan xm有零点，即方程2tan xm有解x，tan x1，m2,2 答案：2,2 3已知x，f(x)tan2x2tan x2，求f(x)的最值及相应的x值解：x，tan x1，f(x)tan2x2tan x2(tan x1)21，当tan x1即x时，f(x)有最小值1，当tan x1即x时，f(x)有最大值5.题组2正切函数的单调性及应用4已知A为锐角，且tan A，那么下列判断正确的是()A0A30 B30A45C45A60 D60A90解析：选B1，即tan 30tan Atan 45.由正切函数随锐角的增大而增大，得30A45，故选B.5已知函数ytan，则它的单调递减区间是_解析：ytantan.由kxk(kZ)，得2kx0，f(x)tan x，所以在上其图象与ytan x的图象相同，在和上，cos x0)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于2，则f的值是()A2 B0 C1 D解析：选B由题意知函数f(x)的周期为2，则2，所以，于是f(x)2tan，所以f2tan2tan 00，故选B.5tan与tan的大小关系是_解析：tantantan ，tantantan .0，tan tan.答案：tantan6若直线x(|k|1)与函数ytan的图象不相交，则k_.解析：直线xn，nZ与函数ytan x的图象不相交，由题意可知，2n，nZ，得到kn，nZ，而|k|1，故n0或1，所以k或k.答案：或7作出函数ytan x|tan x|的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期解：ytan x|tan x|其图象如图所示，由图象可知，其定义域是(kZ)；值域是0，)；单调递增区间是(kZ)；最小正周期T.8已知函数f(x)x22xtan 1，x1，其中.(1)当时，求函数f(x)的