高中数学第二章双曲线课后提升作业（十二）双曲线及其标准方程检测（含解析）.docx

课后提升作业 十二双曲线及其标准方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹为()A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线【解析】选D.当a=3时,|PF1|-|PF2|=60,cossin,所以方程为+=1,故方程表示焦点在y轴上的椭圆.5.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.-y2=1B.-y2=1C.-=1D.x2-=1【解析】选B.椭圆的焦点F1(-,0),F2(,0),由双曲线定义知2a=|PF1|-|PF2|=|-|=|-|=2,所以a=,所以b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为-y2=1.【补偿训练】椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是()A.1B.1C.-1D.不存在【解析】选A.验证法:当m=1时,m2=1,对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3.对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3,故当m=1时,它们有相同的焦点.直接法:显然双曲线焦点在x轴上,故4-m2=m2+2.所以m2=1,即m=1.6.一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是()A.-=1(x2)B.-=1(x2)C.-=1D.-=1【解析】选C.由已知N(4,0),内切时,定圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4,外切时,有|PN|=|PM|+4,故|PM|-|PN|=4,因此2a=4,2c=8,所以b2=12,点P的轨迹是双曲线-=1.【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切,错选A或B.7.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1x轴,则F1到直线F2M的距离为()A.B.C.D.【解析】选C.由双曲线的方程知,a=,b=,所以c=3,F1(-3,0),F2(3,0).将x=-3代入双曲线的方程得y2=.不妨设点M在x轴的上方,则M.所以|MF1|=,|MF2|=.设点F1到直线F2M的距离为d,则有|MF1|F1F2|=|MF2|d,所以d=.8.已知双曲线中心在坐标原点,且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.设双曲线方程为-=1,因为c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2),则P点的坐标为(,4).代入双曲线方程得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线方程为x2-=1.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为_.【解析】将双曲线方程化为kx2-y2=1,即-=1.因为一个焦点是(0,3),所以焦点在y轴上,所以c=3,a2=-,b2=-,所以a2+b2=-=-=c2=9.所以k=-1.答案:-110.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且=0,则|PF1|PF2|=_.【解析】因为|PF1|-|PF2|=4,又PF1PF2,|F1F2|=2,所以|PF1|2+|PF2|2=20,所以(|PF1|-|PF2|)2=20-2|PF1|PF2|=16,所以|PF1|PF2|=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得F1PF2=60,求F1PF2的面积.【解题指南】在PF1F2中,由余弦定理能得到|F1F2|,|PF1|,|PF2|三者满足的关系式,再结合双曲线的定义,求出|PF1|PF2|的值,进而求出F1PF2的面积.【解析】由-=1,得a=3,b=4,c=5.由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,所以|PF1|PF2|=64,所以=|PF1|PF2|sinF1PF2=64=16.【拓展延伸】双曲线的定义对于解题的主要作用双曲线的定义对于解题具有双向作用:(1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支).(2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.12.在ABC中,B(4,0),C(-4,0),动点A满足sinB-sinC=sinA,求动点A的轨迹方程.【解析】设A点的坐标为(x,y),在ABC中,由正弦定理,得=2R,代入sinB-sinC=sinA,得-=,又|BC|=8,所以|AC|-|AB|=4.因此A点的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a=4,2c=8,所以a=2,c=4,b2=12.所以A点的轨迹方程为-=1(x2).【能力挑战题】当0180时,方程x2cos+y2sin=1表示的曲线如何变化?【解析】(1)当=0时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1.(2)当090时,方程为+=1.当045时,0,它表示焦点在y轴上的椭圆;当=45时,它表示圆