高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆课后提升作业（十）2.1.2.1椭圆的简单几何性质检测.docx

课后提升作业 十椭圆的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是()A.B.C.D.-【解析】选C.椭圆方程可简化为+=1,由题意知m0,所以b0)，右焦点F(c,0)，则直线l的方程为=1，即bx+cy-bc=0，由题意可知b，又a2=b2+c2，得b2c2=b2a2，所以e=7.(2016衡水高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,1) B.C. D.【解析】选C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为=0,所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又M点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即cb,c2b2=a2-c2,故e2,所以0eb0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且的最大值的取值范围是c2,3c2,其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y),=(c-x,-y), =x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以()max=b2,所以c2b2=a2-c23c2,即e2,所以e.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且PF1F2的最大面积是12,则椭圆的短半轴长为_.【解析】设P点到x轴的距离为h,则=|F1F2|h,当P点在y轴上时,h最大,此时最大.因为|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.答案:310.(2016嘉兴高二检测)已知椭圆+=1的左顶点为A1,右焦点为F2,点P为该椭圆上一动点,则当取最小值时|+|的取值为_.【解析】由已知得a=2,b=,c=1,所以F2(1,0),A1(-2,0),设P(x,y),则=(1-x,-y)(-2-x,-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又点P(x,y)在椭圆上,所以y2=3-x2,代入上式,得=x2+x+1=(x+2)2.又x-2,2,所以当x=-2时,取得最小值.所以P(-2,0),求得|+|=3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,F1PF2=60.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)不妨设椭圆方程为+=1(ab0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60=(m+n)2-3mn=4a2-3mn4a2-3=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以,即e.又0e1,所以e的取值范围是.(2)由(1)知mn=b2,所以=mnsin60=b2,即PF1F2的面积只与短轴长有关.12.已知椭圆x2+=1(0b0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.【能力挑战题】设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.【解题指南】先设出椭圆的标准方程,根据离心率得到a,b的关系,再设M(x,y)为椭圆上的点,用两点间距离表示出|PM|,最后利用二次函数知识求解椭圆的标准方程.【解析】设椭圆方程为+=1(ab0),M(x,y)为椭圆上的点,由=得a=2b,|PM|2=x2+=-3+4b2+3(-byb),若0b,故矛盾.若b,则当y=-时,4b2+3=7,b2=1,从而a2=4.所求方程为+y2=1.【补偿训练】已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)设P(x0,y0),且+=1,所以|2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0