高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数学案（含解析）新人教版.docx

2.3幂函数学习目标1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点).知识点1幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx是幂函数.()(2)函数y2x是幂函数.()(3)函数yx是幂函数.()提示(1)函数yx符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y2x不是幂函数；(3)幂函数中x的系数必须为1，所以yx不是幂函数.知识点2幂函数的图象和性质(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：幂函数yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)，增x(，0，减增增x(0，)，减x(，0)，减公共点都经过点(1，1)【预习评价】(1)设函数f(x)x，则f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数(2)3.173与3.713的大小关系为_.解析(1)易知f(x)的定义域为R，又f(x)f(x)，故f(x)是奇函数.(2)易知f(x)x3在(0，)上是减函数，又3.17f(3.71)，即3.1733.713.答案(1)A(2)3.1733.713题型一幂函数的概念【例1】(1)在函数yx2，y2x2，y(x1)2，y3x中，幂函数的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3(2)若f(x)(m24m4)xm是幂函数，则m_.解析(1)根据幂函数定义可知，只有yx2是幂函数，所以选B.(2)因为f(x)是幂函数，所以m24m41，即m24m50，解得m5或m1.答案(1)B(2)5或1规律方法判断函数为幂函数的方法(1)只有形如yx(其中为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数.(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：指数为常数，底数为自变量，底数系数为1.形如y(3x)，y2x，yx5形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.【训练1】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)3f(2)，则f的值等于_.解析设f(x)x，因为f(4)3f(2)，432，解得：log23，f.答案题型二幂函数的图象及应用【例2】(1)如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为()A.2，2B.2，2C.，2，2，D.2，2，(2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：f(x)g(x)；f(x)g(x)；f(x)0时，n越大，yxn递增速度越快，故C1的n2，C2的n；当ng(x)；当x1时，f(x)g(x)；当x(0，1)时，f(x)g(x).规律方法解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在x(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在x(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于yx1或yx或yx3)来判断.【训练2】如图是函数yx(m，nN*，m，n互质)的图象，则()A.m，n是奇数，且1C.m是偶数，n是奇数，且1解析由图象可知yx是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当x(1，)时，yx的图象在yx的图象下方，故，所以.(2)因为幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又.【迁移1】(变换条件)若将例3(1)中的两数换为“与”，则二者的大小关系如何？解因为30.3，而yx0.3在(0，)上是单调递增的，又3，所以30.3，即.【迁移2】(变换条件)若将例3(1)中的两数换为“与0.3”，则二者的大小关系如何？解因为y1在(0，)上为减函数，又0.3，又因为函数y2x在(0，)上为增函数，且0.3，所以0.3，所以0.3.规律方法比较幂值大小的三种基本方法课堂达标1.已知幂函数yf(x)的图象经过点，则f(2)()A. B.4 C. D.解析设幂函数为yx，幂函数的图象经过点，4，yx，f(2)2，故选C.答案C2.下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()A.yx B.yx C.yx D.yx解析A中定义域、值域都是R；B中定义域、值域都是(0，)；C中定义域、值域都是R；D中定义域为R，值域为0，).答案D3.设a，则使函数yxa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是()A.1，3 B.1，1C.1，3 D.1，1，3解析当a1时，yx1的定义域是x|x0，且为奇函数；当a1时，函数yx的定义域是R且为奇函数；当a时，函数yx的定义域是x|x0，且为非奇非偶函数.当a3时，函数yx3的定义域是R且为奇函数.故选A.答案A4.函数yx的图象是()解析显然函数定义域为R，且满足“f(x)f(x)”，说明函数是奇函数.又由当0xx，当x1时，x，则.从而8，所以.课堂小结1.幂函数yx的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量.2.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1.(2)如果0，则幂函数在0，)上有意义，且是增函数.(3)如果0，则幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数.基础过关1.已知幂函数yf(x)的图象过点，则log2f(2)的值为()A. B. C.2 D.2解析由题意设f(x)xn，由幂函数yf(x)的图象过点，n.f(x)x，f(2)2，log2f(2)log22.答案A2.函数yx2在区间上的最大值是()A. B. C.4 D.4解析易知yx2在上单调递减，所以当x时，函数yx2的最大值是4.答案C4.若幂函数y(m22m2)x4m2在x(0，)上为减函数，则实数m的值是_.解析因为函数y(m22m2)x4m2既是幂函数又是(0，)上的减函数，所以解得m3.答案35.当时，幂函数yx的图象不可能经过第_象限.解析当1，1，3时，yx的图象经过第一、三象限；当时，yx的图象经过第一象限.答案二、四6.比较下列各组数的大小：(1)1.10.1，1.20.1；(2)0.240.2，0.250.2；(3)0.20.3，0.30.3，0.30.2.解(1)由于函数yx0.1在第一象限内单调递增，又因为1.11.2，所以1.10.11.20.1.(2)由于函数yx0.2在第一象限内单调递减，又因为0.240.250.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小，由于函数yx0.3在第一象限内单调递增，而0.20.3，所以0.20.30.30.3.再比较同底数的两个数的大小，由于函数y0.3x在定义域内单调递减，而0.20.3，所以0.30.30.30.2.所以0.20.30.30.30.30.2.7.已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上单调递减，求满足(a3)(52a)的a的取值范围.解因为函数在(0，)上单调递减，所以3m90，解得m3，又mN*，所以m1，2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m9为偶数，故m1，则原不等式可化为(a3)52a0或52aa30或a3052a，解得a或a0，n0，由x1右侧指数逆时针增大，知n1，由图象上凸知0m1，故选B.答案B9.如图，函数yx的图象是()解析幂函数yx是偶函数，图象关于y轴对称，所以可排除选项A，B，C，选D.答案D10.已知幂函数f(x)x，若f(102a)f(a1)，则a的取值范围是_.解析因为f(x)x(x0)，易知f(x)在(0，)上为增函数，又f(102a)f(a1)，所以解得所以3a5.答案(3，511.若yxa24a9是偶函数，且在(0，)内是减函数，则整数a的值是_.解析由题意得，a24a9应为负偶数，即a24a9(a2)2132k(kN*)，(a2)2132k，当k2时，a5或1；当k6时，a3或1.答案1，3，5，112.已知幂函数yf(x)x2m2m3，其中mx|2x2，xZ，满足：(1)是区间(0，)上的增函数；(2)对任意的xR，都有f(x)f(x)0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x0，3时f(x)的值域.解因为mx|2x2，xZ，所以m1，0，1.因为对任意xR，都有f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数.当m1时，f(x)x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m1时，f(x)x0条件(1)，(2)都不满足.当m0时，