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第七节 傅里叶级数 三、 正弦级数和余弦级数,（一）奇函数和偶函数的傅里叶级数 （二）函数展开成正弦级数或余弦级数 （三）小结,（一）奇函数和偶函数的傅里叶级数,定理,一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.,证明,奇函数,同理可证(2),定义,偶函数,定理证毕.,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,和函数图象,观察两函数图形,解,所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续.,（二）函数展开成正弦级数或余弦级数,非周期函数的周期性开拓,则有如下两种情况,奇延拓:,偶延拓:,解,(1)求正弦级数.,(2)求余弦级数.,（三）小结,1、基本内容: 奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;,2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确),a.只有周期函数才能展成傅氏级数;,第八节 一般周期函数的傅立叶级数,一、以2L为周期的傅氏级数 二、傅立叶级数的复数形式 三、小结,一、以2L为周期的傅氏级数,定理,代入傅氏级数中,则有,则有,证明,典型例题,解,解,另解,小结,利用变量代换求傅氏展开式;,求傅氏展开式的步骤;,1.画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);,2.求出傅氏系数;,3.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于,以2L为周期的傅氏系数;,以2L为周期的函数的傅里叶级数为,二、傅立叶级数的复数形式,代入欧拉公式,傅里叶系数的复数形式,傅里叶级数的复数形式,解,小结,傅里叶级数的复数形式,注意:傅里叶级数的两种形式，本质上是一样的复数形式较简洁且只用一个算式计算系数,傅里叶系数的复数形式,作 业,P
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