概率论于数理统计3.1.ppt

1,3.1 多维随机变量及其联合分布,在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两个以上的 r.v.来描述. 例如 用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究钢的成分. 要研究这些 r.v.之间的联系, 就需考虑多维 r.v.及其取值规律多维分布.,2,3.1.1 二维随机变量,定义 设为随机试验的样本空间，,则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量.,讨论： 二维r.v.作为一个整体的概率特性 其中每一个r.v.的概率特性与整体的概率特性之间的关系,3,实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量.,实例2 考查某一地 区学龄前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).,4,3.1.2 二维随机变量的联合分布函数,定义 设( X , Y ) 为二维 r.v.，对任何一对实数( x , y ), 事件,实函数 F ( x , y )，称为二维 r.v.( X ,Y ) 的分布函数，或称为r.v.X和Y的联合分布函数，即,(记为 ),5,分布函数的几何意义,如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.,(x, y),6,联合分布函数的性质,(x, y),7,8,固定 x , 对任意的 y1 y2 ,固定 y , 对任意的 x1 x2 ,F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ),F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ),F (x, y1) F (x, y2),F (x1,y) F (x2, y),9,F (b,d) F (b,c) F (a,d) + F (a,c) 0,事实上, F (b,c), F (a,d),+ F (a,c),F (b,d),10,例1,设,讨论F (x, y)能否成为二维r.v.的分布函数？,解,x+ y = 1,故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数.,11,注意 对于二维 r.v.,(a,c),(a,+),(+,+),(+,c),12,3.1.3 二维离散型随机变量的联合分布律,定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值 为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.,13,联合分布律,设( X ,Y )的所有可能的取值为,则称,为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布，也简称为概率分布 或 分布律,14,二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为,15,二维离散 r.v.的联合分布函数,已知联合分布律可以求出其联合分布函数,反之, 由分布函数也可求出其联合分布律,16,的求法,(1) 利用古典概型直接求；,(2) 利用乘法公式,17,解,且由乘法公式得,例2 设随机变量 X 在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在1X 中等可能地取一整数值. 试求( X, Y )的分布律.,18,19,例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数.,( X, Y ) 的可能取值为,解,20,故 ( X , Y ) 的分布律为,下面求分布函数.,21,22,23,所以( X ,Y ) 的分布函数为,24,3.1.4 二维连续型随机变量的联合密度,定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) , 使得对于任意实数 x , y 有,则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v.，f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数，简称概率密度函数，简记为 p.d.f.,25,联合密度函数的性质,26,从而有,(4) 在 的连续点处,27,表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,说明,28,例4 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f.为,其中k 为常数. 求,常数 k ; P ( X + Y 1) , P ( X 0.5).,29,解 令,(1),30,(2),0.5,31,例5,解,32,(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,即有,33,3.1.5 两个常用连续型随机变量的分布,1.均匀分布,设G 是平面上的有界区域 , 面积为 A，,若r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为,则称( X ,Y )服从区域G上的均匀分布，记作U( G ) .,34,例6 设(X ,Y ) U( G ) ,f ( x, y ); P ( Y X 2 ); ( X ,Y ) 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率.,求:,35,解 (1),(2),36,(3),37,2. 二维正态分布,若r.v.( X ,Y ) 的联合密度为,则称( X ,Y ) 服从参数为1, 2, 12,22,