世纪金榜二轮专题辅导与练习专题一第二讲.ppt

第二讲 向量运算与复数运算、算法、合情推理,一、主干知识 1.共线向量定理: 向量a(a0)与b共线,当且仅当存在唯一一个实数,使b=a. 2.复数的有关概念: 复数z=a+bi(a,bR),(1)z是实数_.(2)z是虚数_. (3)z是纯虚数_且_.(4)z的共轭复数为:_(实数的 共轭复数是它本身).,b=0,b0,a=0,b0,a-bi,3.两种合情推理的思维过程: (1)归纳推理的思维过程. (2)类比推理的思维过程.,二、必记公式 1.两个非零向量平行、垂直的充要条件: 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)aba=b(b0)_. (2)abab=0_. 提醒:(1)若a与b不共线,且a+b=0,则=0. (2)已知 (,为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是+=1.,x1y2-x2y1=0,x1x2+y1y2=0,2.向量的夹角公式: 设为a与b(a0,b0)的夹角,且a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 3.复数的运算公式: 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则 (1)z1+z2=_. (2)z1-z2=_. (3)z1z2=_. (4) (c+di0).,(a+c)+(b+d)i,(a-c)+(b-d)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,1.(2013江苏高考)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模 为 . 【解析】z=(2-i)2=3-4i,所以|z|= =5. 答案:5 2.(2013惠州模拟)已知四边形ABCD为平行四边形,若向量 则向量 = . 【解析】因为 所以 答案:b-a,3.(2013常州模拟)已知|a|=3,|b|=2,若ab=-3,则a与b夹 角的大小为 . 【解析】因为 且0180,所以=120. 答案:120,4.(2013太原模拟)在ABC中,G是ABC的重心,AB,AC的边长 分别为2,1,BAC=60,则 = . 【解析】由AB=2,AC=1,BAC=60, 所以BC= ACB=90, 将直角三角形放入直角坐标系中,如图 则A(0,1),B( 0), 所以重心G 所以 所以 答案:,5.(2012江苏高考)如图是一个算法流程图,则输出的k的值是 .,【解析】将k=1代入k2-5k+4不满足k2-5k+40,将k=2代入 k2-5k+4不满足k2-5k+40,将k=3代入k2-5k+4不满足k2-5k+40,将k=4代入k2-5k+4不满足k2-5k+40,将k=5代入k2-5k+4满足 k2-5k+40,所以k=5. 答案:5,热点考向 1 向量的运算及应用 【典例1】(1)(2013江苏高考)设D,E分别是ABC的边AB,BC 上的点, 若 (1,2为 实数),则1+2的值为 . (2)已知P是边长为2的正方形ABCD及其内部一动点,若 PAB,PBC面积均不大于1,则 的取值范围是 . (3)已知a=(1,2),b=(1,1),a与a+b的夹角为锐角,则实数的 取值范围为 .,【解题探究】 (1)求1+2的两个关键点:用 表示 由 可求得 求1,2,比较系数可求得 (2)以点A为坐标原点, 为x轴,y轴正方向建立平面直角坐 标系.设P(x,y),则 =_. (3)由a与a+b的夹角为锐角可知a与a+b的数量积大于0且排 除a与a+b同向的情况,由此可列式子为: _,x2+y2-2x,【解析】(1)由 则1+2的值为 答案：,(2)建立如图所示的平面直角坐标系,由于PAB,PBC面积均 不大于1,故点P在图中的区域EFGB的边界及其内部,设P(x,y), 则 =(x,y)(x-2,y)=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1,其中 (x-1)2+y2表示阴影区域内的点到点(1,0)距离的平方,显然范 围是0,2,故 的取值范围是-1,1. 答案:-1,1,(3)由题意可得 即 即 答案：,【方法总结】求解向量数量积最值问题的两种思路 (1)直接利用数量积公式得出等式，依据等式求最值. (2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值.,【变式训练】1已知e1，e2是两夹角为120的单位向量， a3e12e2，则|a|=_. 【解析】|a| 答案：,2.(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD 的中点，则 =_. 【解析】以点为原点，以 为x轴，y轴正方向建立平面 直角坐标系，则(,)，(,)，(,)，(, )，所以 所以 =2. 答案：,热点考向 2 复数的概念及运算 【典例2】(1)(2013济宁模拟)复数 则复数z+1在复 平面上对应的点位于第_象限. (2)(2013北京模拟)i为虚数单位，复数 的虚部是_.,【解题探究】 (1)如何判定复数所对应的点所在的象限？ 提示：关键是看该复数的实部与虚部的取值范围. (2)求复数 的实部与虚部的关键是什么？ 提示：关键是将复数化为a+bi(a，bR)的形式.,【解析】(1) 所以 对应点 位于第四象限. 答案：四 (2) 所以虚部是 答案：,【互动探究】题(2)中条件不变，则复数 在复平面内对应 的点到原点的距离是_. 【解析】因为 所以，该复数所对应的点为 所以 (O为原点). 答案：,【方法总结】复数的概念及运算问题的解题技巧 (1)与复数有关的代数式为纯虚数，可设为mi(mR且m0)，利用复数相等求解. (2)与复数模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z=a+bi(a,bR),利用待定系数法求解.,【变式备选】已知aR,i为虚数单位，若 R,则a等 于_. 【解析】 令 得 答案：,热点考向 3 流程图 【典例3】(1)如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 _.,(2)(2013北京模拟)执行如图所示的流程图，输出的结果 S_.,【解题探究】 (1)算法何时结束？ 提示：当a20时结束. (2)该流程图满足什么条件时循环？循环了几次？ 提示：该流程图在i6时循环；因为i的初始值为0，每次增加2，且是先执行循环体，所以循环了4次.,【解析】(1)n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4. 答案：4 (2)第1次循环，i0，S1； 第2次循环，i2，S1+2212； 第3次循环，i4，S2+2419； 第4次循环，i6，S9+26120； 此时满足条件，输出S20. 答案：20,【方法总结】 1.解答流程图问题的关注点 (1)弄清流程图的三种基本结构，按指向执行直至结束. (2)关注输出的是哪个量，何时结束. (3)解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防止运行程序不彻底，造成失误. 2.循环结构的两点注意 (1)注意区分计数变量与循环变量. (2)注意哪一步结束循环.,【变式训练】(2013新课标全国卷改编) 执行如图所示的流程图，如果输入的 t-1，3，则输出的s的范围为_. 【解析】由流程图可知，s与t可用分段函数 表示为 则-3s4. 答案：-3s4,【备选例题】 【典例】(2013台州模拟)流程图如图所示，若f(x)=x, g(x)=lg x,输入 则输出结果为_.,【解析】因为当 时，f(x)g(x),可知h(x)=g(x)=lg x， 答案：-1,【方法总结】流程图读图问题的两个关注点 (1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能. (2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值.,热点考向 4 合情推理 【典例4】(1)把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列an，若an2 011，则n_.,(2)(2013济宁模拟)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式： 221+3 321+3+5 421+3+5+7 233+5 337+9+11 247+9 此规律，54的分解式中的第三个数为_.,【解题探究】 (1)每行的最后一个数有什么特点？ 2 011是第几行第几列的数值？ 提示：每一行最后一个数是第n行的平方；2 011是位于第45行第38个数. (2)每一列各个数的分解式有何特点？每一行各个数的分解式有何特点？ 提示：每一列各个数的分解式是连续的奇数，且都不相同；每一行各个数的分解式依次是两个奇数、三个奇数、四个奇数的和.,【解析】(1) 每一行最后一个数是第n行的平方， 所以4522 025，4421 936，所以2 011在第45行， 又因为 所以an2 011是第45行的第38个数， 所以n12344381 028 答案：1 028,(2)由题意观察得知，n的m次方正好是n个连续奇数的和，右边中间数(或中间两数的平均数)的n倍恰好等于左边的数.54就是5个连续奇数的和且其中间数的5倍等于54. 由题意可知，3425+27+29， 54121+123+125+127+129, 所以54的分解式中的第三个数为125. 答案：125,【方法总结】合情推理的解题思路 (1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论. (2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后通过类比，推导出类比对象的性质. (3)归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.,【变式训练】在平面内，设半径分别为r1,r2的两个圆相离且圆心距为d,若点M，N分别在两个圆的圆周上运动，则MN的最大、最小值分别为d+r1+r2和d-r1-r2.在空间中，设半径分别为R1,R2的两个球相离且球心距为d,若点M，N分别在两个球面上运动，则MN的最大、最小值分别为_.,【解析】因为在由平面图形到空间图形的类比推理中，圆对应球，“在平面内，设半径分别为r1,r2的两个圆相离且圆心距为d,若点M，N分别在两个圆的圆周上运动，则MN的最大、最小值分别为d+r1+r2和d-r1-r2” 可类比推理出： “在空间中，设半径分别为R1,R2的两个球相离且球心距为d,若点M，N分别在两个球面上运动，则MN的最大、最小值分别为d+R1+R2和d-R1-R2”. 答案：d+R1+R2和d-R1-R2,转化与化归思想 解决向量中的平行及夹角问题 【思想诠释】 1.主要类型：(1)向量的平行、垂直转化为向量坐标间的关系.(2)向量的夹角问题转化为代数式求解.(3)向量数量积的最值问题转化为函数的最值问题.(4)线段的长度问题转化为向量的数量积问题.,2.解题思路：常常利用向量与代数的关系将几何问题转化为代数问题求解. 3.注意事项：(1)两个向量的数量积大(小)于零是两个向量夹角为锐(钝)角的必要不充分条件.(2)向量平行与向量共线是一回事.,【典例】 (1)已知在ABC中，AB3，BAC60，BAC的平分线AD 交边BC于点D，且 (R)，则AD的长为_. (2)在平面直角坐标系xOy中，设A,B,C是圆x2y21上相异三 点，若存在正实数，使得 则2( 3)2的取值范围是_.,【审题】分析信息，形成思路 (1)切入点：作辅助线，把 用其他向量表示出来，再利用长 度与数量积的关系求解; 关注点： 中所含参数的确定，可依据B，D，C 三点共线得出. (2)切入点：2(3)2的几何意义是点(，)到点(0,3) 距离的平方； 关注点： 及A,B,C是圆x2y21上相异三点得出 关于与的约束条件.,【解题】规范步骤，水到渠成 (1)如图，过D作AB，AC的平行线，分别交 AC，AB于E，F，则 由 及B，D，C三点共线知 AC3AE， . 又AB3，所以AF AB2. 由AD是BAC的平分线知，四边形AEDF是菱形， 所以AE2， 所以 答案：,(2)设 的夹角为(01，且|1， 作出如图所示的可行域，则,2(3)2表示区域内任一点到点(0,3)的距离的平方，而当点(0,3)到直线10的距离d为最小值时， d22，所以2(3)2的取值范围为2，) 答案：2，),【点题】规避误区，易错警示,【变题】变式训练，能力迁移 1.设e1,e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x,yR.若e1,e2的