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文档简介
第五节 随机变量的函数的分布,问题的提出 离散型随机变量的函数的分布 连续型随机变量的函数的分布 小结,一、问题的提出,在实际中,人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.,求截面面积 A= 的分布.,比如,已知圆轴截面直径 d 的分布,,再比如 ,已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布,,求功率 W=V2/R ( R 为电阻)的分布等.,设随机变量 X 的分布已知,Y=g (X) (设g 是连续函数),如何由 X 的分布求出 Y 的分布?,下面进行讨论.,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,二、离散型随机变量函数的分布,解: 当 X 取值 1,2,5 时, Y 取对应值 5,7,13,,设X,求 Y= 2X + 3 的概率函数.,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件,两者具有相同的概率.,故,例1,如果g ( x k) 中有一些是相同的,把它们作适当 并项即可.,一般地,若X是离散型 r.v ,X 的分布律为,则 Y=X2 的分布律为:,三、连续型随机变量函数的分布,解 设Y的分布函数为 FY(y),,设 X ,求 Y=2X+8 的概率密度.,FY(y)=P Y y = P (2X+8 y ),=P X = FX( ),于是Y 的密度函数,例2,故,注意到 0 x 4 时,,即 8 y 16 时,,此时,Y=2X+8,例3 设 X 具有概率密度 , 求 Y=X2 的概率密度.,当 y0 时,注意到 Y=X2 0 ,故当 y 0 时, .,解 设Y 和 X 的分布函数分别为 和 ,,则 Y=X2 的概率密度为:,求导可得,若,从上述两例中可以看到,在求P(Yy) 的过程中,关键的一步是设法从 g(X) y 中解出X, 从而得到与 g(X) y 等价的X 的不等式 .,用 代替 X2 y ,这样做是为了利用已知的 X的分布,从而求出相应的概率.,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.(称为分布函数法),例4 设随机变量X的概率密度为,求 Y = sinX 的概率密度.,当 y 0 时,当 y 1时,故,解,注意到,解 当 0 y 1 时,例4 设随机变量 X 的概率密度为,求 Y = sinX 的概率密度.,=P(0 X arcsiny) +P( - arcsiny X ),而,求导得:,下面给出一个定理,在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 .,其中,,x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数 .,定理 设 X是一个取值于区间a,b,具有概率密度 f(x)的连续型 r.v,又设y=g(x)处处可导,且对于任意 x, 恒有 或恒有 ,则Y=g(X)是一 个连续型r.v,它的概率密度为,解,此例说明:正态变量的线性函数仍是正态变量。,小结: 1 一般情形下求随机变量函数的分布。 2 在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数 的分布。,重点:掌握一般情形下求随机变量函数分布的方 法:先求分布函数,再求导,求随机变量函数的 概率密度。,1 会用随机变量表示随机事件。 2 理解分布函数的定义及性质,要会利用分布 函数表示事件的概率。 3 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性 质,会求离散型随机变量的分布率及分布函 数,掌握常用的离散型随机变量分布:两点分 布、二项分布、泊松分布。 4 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性 质,要掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算,掌握常用
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