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数论中的若干问题和进展,徐飞,一. 概述,Peano公理：自然数（正整数）和零。 减法：整数 Z。 除法：有理数 Q。 极限：实数 R。(, 2, ) 求解代数方程 ：复数 C。,一. 概述,数论大致分为两类问题： 1）素数问题。如Riemann猜想，Goldbach猜想等。 2）整系数多项式方程的整数解。如Fermat猜想，BSD猜想等。,二. 素数,如果正整数m整除正整数n，称m是n的 一个因子。 如果正整数p的因子只有1和p，那么p称 为素数。 如 2，3，5，7，11，13，17，19 等等。,二. 素数,算术基本定理：任何一个正整数都可表示为 素数的乘积。不考虑乘积秩序，表达式唯一。 如：4=2x2, 6=2x3，12=2x2x3 等等。,二. 素数,定理（Euclid）：素数有无限多。 证法一：如果素数只有有限多个，记为 那么根据算术基本定理， 的素数因子就一定不是上述的素数，矛盾！,二. 素数,证法二（Riemann)：根据算术基本定理， 其中s是大于1的实数。 如果素数只有有限多，那么无论s取什么 值等式右边都是有限值，而等式左边当s=1时 是发散的。矛盾！,二. 素数,利用证法二可以证明： 定理（Dirichlet)：等差级数 a，a+d，a+2d， ，a+nd， 中如果a和d互素，那么该等差 级数中会有无限多个素数。,二. 素数,Riemann zeta 函数 满足函数方程s1-s。 (Riemann猜想)： Riemann zeta函数的非平 凡零点在实部为1/2的竖直线。,二. 素数,如果p和p+2都是素数，称（p，p+2）为 孪生素数。 如（3，5）； （5，7）； （11，13）； （17，19）等等。 猜想：孪生素数有无限多对？,二. 素数,Green-Tao定理： 对任意正整数n，存在长度为n且每一项都 是素数的等差级数。 例如： 3，7，11 (n=3) 5，11，17，23，29 (n=5),二.素数,目前用计算机明确找到最长的素数等差级数 是 6171054912832631+366384x223092870xk: k=0,1,2,24 ,二.素数,猜想1: (Goldbach 猜想) 任意大于2的偶数都可写成两个素数的和。 猜想2: (Schinzel 猜想): 首项系数为正的整系数不可约多项式, 若没 有固定正因子, 则存在无限多个素数可表示为 该多项式的形式。,二.素数,特例: (Landau 猜想) 是否存在无限多素数可写为 x +1的形式？ 类似地，可以有多个变元和若干个多项 式的Schinzel 猜想。,二.素数,Dirichlet 定理： 对任给定的非退化本原二元二次型，都存 在无限多个素数可表示为该二元二次型的形 式。 Iwaniec 将这个结果推广到二元二次非退化 本原多项式情形。,二.素数,Friedlander-Iwaniec （1998）定理： 存在无限多个素数可以表示为 x + y 的形式。 Heath-Brown （2001）定理： 存在无限多个素数可以表示为 x + 2y 的形式。,三. 丢番图方程,整数为系数的多项式方程都称为丢番图方程。 希尔伯特第十问题：是否存在一个能确定整 系数多项式方程有无整数解的算法？ 答案：否。(Davies-Putnam-Robinson-Matijasevic-Cudnovskii),三. 丢番图方程,必要条件： 1）方程在实数域上有解。 2）方程模任何整数m有解。,三. 丢番图方程,例：方程 没有整数解。（没有实数解）。 例：方程 没有整数解。（模3没有解）。,三. 丢番图方程,设 为素数。 由中国剩余定理：,三. 丢番图方程,对素数p，考虑 （乘积拓扑） 的闭包。记为Zp。 上述必要条件:方程在实数域R和Zp上均 有解。此时称方程局部有解。,四.线性方程,由带余除法法：线性方程有整数解当且 仅当方程局部有解，即上述必要条件也是充 分条件。,五.二次方程, 一个二次齐次整系数方程有本原解当且 仅当该方程局部有非平凡解。 （Hasse-Minkowski 定理） 一般一个二次整系数方程局部有解推不 出它有整数解。这个问题有比较完整的答 案，但仍没有得到彻底解决。,五.二次方程,例(Fermat)：若二次齐次方程F(x,y,z)=0有 一个非平凡的整数解，则该方程有无限多组 本原整数解，由 Q参数化。 费马的证明： F(x,y,z)=0有非平凡的整数 解一一对应于 的有理解。,五.二次方程,(Fermat-Gauss): 一个整数可表为两个整 数的平方和当且仅当局部可表为两平方和。 (Gauss-Legendre):一个整数可表为三个整 数的平方和当且仅当局部可表为三平方和。 (Lagrange):每个正整数可表为四个整数的 平方和。,六.三次方程,三次齐次多项式局部有非平凡解推不出 该方程有整数解。 三元三次齐次光滑整系数多项式给出射 影空间亏格为1的一条光滑曲线。判定这类 整系数方程是否存在非平凡的本原的整数 解仍没有一般的方法。,六.三次方程,如果三元三次齐次光滑整系数多项式方程 有一个非平凡的本原的整数解，称该方程为 椭圆曲线。记为E。 椭圆曲线上非平凡的本原的整数解 E(Z) 构成一个有限生成的交换群。(Mordell 定理),六.三次方程,根据有限生成交换群的结构定理 E(Z) Z E(Z) 定理(Mazur)：E(Z) 16 猜想： 可任意大？,六.三次方程,除有限多个素数外，E模素数p成为有限 域上的一条椭圆曲线。定义： 其中 =p+1- #E( ) 。 称为E的L-函数。,六.三次方程,定理(Wiles，Taylor-Wiles，Taylor，)： E的L-函数可解析开拓到全复平面并满足 函数方程s 2-s。 BSD猜想：E的L函数在s=1处零点的阶= 。,六.三次方程,定理(Kolyvagin，Gross-Zagier)： 当E的L-函数在s= 1的阶1时，BSD猜想 成立。,七. 高次方程,定理（Siegel）：次数大于2的两个变元的整系数多项式（光滑）方程仅有有限多个整数解。 定理（Faltings）：次数大于3的三个变元齐次（光滑）多项式至多仅有有限多个非平凡的本原解。,七. 高次方程,定理（Wiles): 如果n2, 方程 的整数解满足 xyz=0。,七. 高次方程,Euler猜想：方程 x + y + z = w 没有正整数解。 反例