东北林业大学概率课件.ppt

,2. 离散型随机变量的概率分布,一、离散型随机变量的概念 定义2.2 如果随机变量X的所有可能的不同取值 是有限或可列无限多个，则称X为离散型随机变量. 设X所有可能的不同取值为 (k=1，2， ，)，若 = , k=1，2， (21) 则称(21)为X的分布律，也称为概率分布或概率函 数,即:（Probability Distribution)或 （Probability Function）,显然，分布律 具有如下两个性质： 1.（非负性） 0 =1，2， （23） 2.（规范性） （24） 事实上, . 当给定了 及 ( k=1，2， )之后，我们就能描述离散 型随机量X的分布律，这是因为我们已经知道它取什么值, 以及以多大的概率取这些值，这也正是我们研究随机变量的 分布所需要的,二、几种常见离散型随机变量及其分布律 1. （01）分布 定义2.3 设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是 （0 1） （25） 即 则称X服从（01）分布或两点分布 （Two-point Distribution） 对于一个随机试验E，它只有两种可能的结果A和 ，即A 要么发生，要么不发生，则这种试验E总可以用（01）分布 来描述，这种试验在实际中很普遍例如，抛掷硬币试验, A = “出现正面”， “出现反面”；在射击试验中，,A=“命中目标”, “未命中目标”;它们都可用 （01）分布来描述（01）分布是实际中 经常用到的一种分布 2. 二项分布 设E为n重贝努利试验，用X表示n重贝努利试验 中事件A发生的次数，则X是一个随机变量,X所有可 能的取值为0，1，2，n;由于各次试验是相互独立 的，因此由第一章（118）知 =PA在n次试验中恰好发生 次= ， =0，1，2，n； 显然 （） 0 ， =0，1，2，n； （）,注意到 恰好是二项式 的展开式中出现 的 那一项,因此,称X服从的分布为参数是（ ， ）的二项分布. 定义2.4 若随机变量X的分布律为 = ， =0，1，2，； （26） 其中n为正整数，0 1，则称服从参数为（ ，）的二项分 布（Binomial Distribution），记为 . 特别地，当n=1时， ，这就是（01）分布 在实际中，把概率很小（一般要求在0.05以下）的事件称 为小概率事件由于小概率事件在一次试验中发生的可能性 很小，因此，在一次试验中，小概率事件实际上是不应该发 生的. 这条原则我们称它为实际推断原理需要注意的是,实 际推断原理是指在一次试验中小概率事件几乎是不可能发生 的，当试验次数充分大时，小概率事件至少发生一次却几乎 是必然的,在实际中，我们经常要计算n次独立重复的贝努 利试验中恰好有 次成功的概率 ,至少有 次成功的概率 等.当n很大时，要计算出它 们的确切数值很不容易因此，人们希望能找到二 项分布的近似计算公式法国数学家泊（Poisson，1781-1840）对此进行了研究，得到了如下二项分 布概率计算的逼近公式 定理2.1 （泊松逼近定理） 若 ，且 =（为常数），则对任意确定的自然数k，有 PX=k= ， k= 0，1，2， ， （27）,由于 n = 为常数，当n较大时， 必定较小因此, 由上述定理可知，当n较大， 较小时，有以下近似表达式 （其中n ） k= 0，1，2，n, (28) 而 的值则可通过查本书附表1获得 实际应用中， 当 10且 0.1时， 即可用上述近似公 式计算；而当 n100且 = n 10时，利用上述近似公式效 果更佳如上例中 = 0.031828 二项分布是离散型分布中的重要分布, 应用十分广泛. 利用 泊松逼近定理，很自然引入另一个重要的分布泊松分布,3. 泊松分布 定义2.5 设E是随机试验，X是定义在样本空间上的随机 变量，若X的分布律 = 0, 1, 2, , （28） 则称X服从参数为的泊松分布（Poisson Distribution）,记 为 在实际中，许多随机现象都可用泊松分布来描述例如, 一批产品的废品数；一本书中某一页上印刷错误的个数；某 汽车站单位时间内前来候车的人数；某段时间内，某种放射 性物质中发射出的粒子数等等，均可用泊松分布来描述. 泊松分布是概率论中的又一个重要分布，在随机过程中也有 重要应用,4. 几何分布 定义2.6 若X的分布律为 （29） 其中 0 1， ，则称X服从参数为 的几何分 布（Geometrical Distribution），记为X 若令X表示贝努利试验中事件