高中数学第二章平面向量第3节平面向量的基本定理及坐标表示（第1课时）平面向量基本定理教案.docx

第1课时平面向量基本定理核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P93P94的内容，回答下列问题(1)观察教材P93图2.32的作图过程，思考：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任意向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以根据是数乘向量和平行四边形法则(2)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？提示：存在(3)两个非零向量夹角的取值范围是什么？当非零向量a与b共线时，它们的夹角是多少？提示：两个非零向量夹角的范围是0180.当非零向量a与b共线时，它们的夹角是0或180.2归纳总结，核心必记(1)平面向量基本定理条件e1、e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角范围0，特殊情况0a与b同向90a与b垂直，记作ab180a与b反向问题思考(1)0能与另外一个向量a构成基底吗？提示：不能基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的(2)平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示(3)如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示课前反思(1)平面向量基本定理： ；(2)基底： ；(3)基向量： ；(4)向量的夹角： .知识点1对基底向量概念的理解讲一讲1(1)如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()ae1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则；若存在实数，使得e1e20，则0.AB C D(2)设e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2 B3e12e2和4e26e1Ce12e2和e22e1 De2和e2e1尝试解答(1)由平面向量的基本定理可知，是正确的对于，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的对于，当120或120时，结论不成立故选B.(2)4e26e12(3e12e2)，3e12e2和4e26e1共线，不能作为平面向量的一组基底答案：(1)B(2)B类题通法用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解练一练1如果e1，e2是平面内的一组基底，那么下列命题中正确的是()A若实数1，2使1e12e20，则120B空间内任一向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC1e12e2不一定在平面内，1，2RD对于平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对解析：选AA是正确的，B是错误的，这样的a只能是与e1，e2在同一个平面内的向量，不能是空间中的任一向量，C是错误的，在平面内任一向量都可以表示为1e12e2的形式，故1e12e2一定在平面内，D是错误的，这样的1，2是唯一的，而不是有无数对，综上所述，只有A是正确的.知识点2向量的夹角问题讲一讲2已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，则ab与a的夹角是多少？ab与a的夹角又是多少？尝试解答如图所示，作a，b，且AOB60.以，为邻边作平行四边形OACB，则ab，ab.因为|a|b|2，所以平行四边形OACB是菱形，又AOB60，所以与的夹角为30，与的夹角为60.即ab与a的夹角是30，ab与a的夹角是60.类题通法两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角练一练2如图，已知ABC是等边三角形(1)求向量与向量的夹角； (2)若E为BC的中点，求向量与的夹角解：(1)ABC为等边三角形，ABC60.如图，延长AB至点D，使ABBD，则，DBC为向量与的夹角DBC120，向量与的夹角为120.(2)E为BC的中点，AEBC，与的夹角为90.知识点3平面向量基本定理的应用讲一讲3如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC3AE，BC3BF，若，其中，R，求，的值尝试解答在矩形OACB中，又()()，所以1，1，所以.类题通法(1)平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1ay1bx2ay2b，则(2)重要结论设e1，e2是平面内一组基底，当1e12e20时恒有120若a1e12e2当20时，a与e1共线当10时，a与e2共线120时，a0练一练3如图所示，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求证：APPM41.证明：设b，c，则bc，c，cb.因为， ，所以存在，R，使得，又因为，所以，所以b，即bcb.又因为b与c不共线，所以解得故.即APPM41.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是平面向量基本定理及其应用、平面向量的夹角，难点是平面向量基本定理的应用2本节课要重点掌握以下三个问题(1)正确理解基底向量的概念，见讲1；(2)求向量的夹角，见讲2；(3)用平面向量基本定理解决相关问题，见讲3.3本节课的易错点有两处(1)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是0，和.(2)两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角，如练2.课下能力提升(十七)学业水平达标练题组1对基底向量概念的理解1已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是()Ae1，e1e2 Be12e2，e22e1Ce12e2,4e22e1 De1e2，e1e2解析：选C因为4e22e12(e12e2)，从而e12e2与4e22e1共线2在ABC中，c，b，若点D满足2，以b与c作为基底，则()A.bc B.cbC.bc D.bc解析：选A2，2()，c2(b)，cb.3.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分，(不包括边界)若ab，且点P落在第部分，则实数a，b满足()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0，b0.题组2向量的夹角问题4若向量a与b的夹角为60，则向量a与b的夹角是()A60 B120C30 D150解析：选A平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量a与b的夹角也是60.5在ABC中，C90，BCAB，则与的夹角是()A30 B60C120 D150解析：选C如图，作向量，则BAD是与的夹角，在ABC中，因为C90，BCAB，所以ABC60，所以BAD120.6如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若 (，R)，求的值解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则.在RtOCD中，|2，COD30，OCD90，|4，|2，故4，2，即4，2，6.题组3平面向量基本定理的应用7设向量e1与e2不共线，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，则实数x，y的值分别为()A0,0 B1,1 C3,0 D3,4解析：选D向量e1与e2不共线，解得8已知在ABC中，P是BN上的一点若m ，则实数m的值为()A. B. C. D.解析：选C设，则()(1) m ，解得9设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1e2_.解析：设e1e2manb(m，nR)，ae12e2，be1e2，e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.e1与e2不共线，e1e2ab.答案：ab10设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的值解：(1)证明：若a，b共线，则存在R，使ab，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)设cmanb(m、nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求，的值分别为3和1.能力提升综合练1.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面内所有向量的基底的是()A BC D解析：选B与不共线，与不共线，所以可以作为该平面内所有向量的基底2向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则()A2 B4 C5 D7解析：选B以如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2为基底，则ae1e2，b6e12e2，ce13e2，因为cab(，R)，所以e13e2(e1e2)(6e12e2)(6)e1(2)e2，所以解得所以4.故选B.3如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，75 ，4，EF交AC于点K，则实数的值为()A B C. D.解析：选A因为( )，所以.又E，F，K三点共线，所以1，解得.故选A.4如图，在ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足2.若x y，则x29y2的最小值为_解析：根据题意，得x y.因为M，B，C三点共线，所以有xy1，即xy，所以x29y229y210y2y102，所以当y时，x29y2取得最小值.答案：5若a0，b0，|a|b|ab|，则a与ab的夹角为_解析：如图，作a，b，则ab.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB.|a|b|ab|，BOA60，四边形OACB为菱形又ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA，a与ab的夹角为30.答案：306如图所示，平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N是BC的中点，设b，