设F是一个数域Fx是F上的一元多项式环.ppt

设F是一个数域，Fx是F上的一元多项式环.,2.2.1 多项式整除的定义,定义2.4 设 f(x)，g(x)Fx. 如果存在h(x)Fx, 使得 f(x)=g(x)h(x), 则称g(x)整除f(x), 或说f(x)能被g(x)整除. 记作 g(x)| f(x).,此时称g(x)是f(x)的一个因式，f(x)是g(x) 的一个倍式. 如果g(x)不整除f(x), 就记作g(x) f(x).,2.2 多项式的整除性,注记： (1). g(x)|f(x) 不能写成 g(x)/f(x),以免与分式混淆; (2). 整除性不是多项式的运算，它只是Fx元素 间的一种关系; (3). 如果g(x) f(x)，那么对h(x)Fx, 关系式 f(x)=g(x)h(x)都不成立.,问题： (1).零多项式能否整除零多项式？ (2).非零多项式能否整除零多项式？ (3).零多项式能否整除非零多项式？ (4).零次多项式能否整除任意多项式？ (5).零次多项式能否被任意多项式整除？,分析： (1).因对h(x) Fx, 都有 0=0h(x)， 所以0|0, 即零多项式能够整除零多项式. (2). 关系式 0=0h(x)（ h(x) Fx） 表明，任意非零多项式都能整除零多项式.,(3). 当f(x)Fx (f(x) 0)时，不存在h(x)Fx, 使得 f(x) = 0h(x). 因此，零多项式不能整除非零多项式.,(4). 对f(x)Fx和0 cF，都有 f(x)= c( f(x)， 所以零次多项式能够整除任意多项式.,(5). 对于0 cF和g(x)Fx, 若存在h(x)Fx,使得 c = g(x)h(x), 则g(x)与h(x)均为零次多项式. 因此，零次多项式只能被零次多项式整除 .,注记： (1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(这里 0 cF), 它们称为f(x)的平凡因式.,2.2.2 多项式整除的基本性质,(a) 对f(x)Fx和cF( c0), 总有 f(x)|0, c|f(x), c f(x)|f(x).,（2）g(x)|f(x) g(x)|cf(x) (c F)， g(x)|f(x) cg(x)|f(x) (0 c F). 即：f(x)与cf(x) (0 cF)有相同的因式； f(x)与cf(x) (0 cF)有相同的倍式.,(b) 如果 f(x)|g(x), g(x)|h(x), 那么 f(x)|h(x). 证明：f(x)|g(x) 有 h1(x) Fx ，使得 g(x)=f(x) h1(x) ； （1） g(x)|h(x) 有h2(x) Fx ，使得 h(x)=g(x) h2(x) . （2） 由（1）,（2）两式，得 h(x)=f(x) (h1(x) h2(x). 即 f(x)|h(x).,(c) 如果 f(x)|g(x), f(x)|h(x), 那么 f(x)|(g(x)+h(x).,注：此命题的逆命题不成立. 例如，对于 f(x)=x, g(x)=x-1, h(x)=x +1, 有f(x)|(g(x)+h(x)，但f(x)g(x), f(x)h(x).,(d) 如果f(x)|g(x), 那么对 h(x) Fx ,都有 f(x)|g(x)h(x).,2.2.3 带余除法,其中,2.2.4 综合除法,所得的商,和余式,可按下列计算格式求得：,这里，,除,的形式,说明：,综合除法一般用于,4,解 ,1 ,=,2,3,2,3,4,5=,1,3,