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莫兴德 广西大学 数信学院,Email:,微 积 分,链接目录,参考书,1赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 2同济大学. 高等数学. 高等教育出版社,第四章 函数的极值及其求法,函数的极值及其求法,由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。,一、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,注,这个结论又称为Fermat定理,如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号,不可导点也可能是极值点,可疑极值点：驻点、不可导点,可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步 判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理3(第二充分条件),证,例2,解,图形如下,注意:,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,例4,证,（不易判明符号）,而且是一个最大值点，,例5,设f ( x )连续，且f ( a )是f ( x )的极值，问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值,证,分两种情况讨论,所以 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的极小值,设f ( a ) 是f ( x )的极小值，且,又f ( x )在 x = a 处连续，且,f 2( a )是 f 2( x )的极大值,同理可讨论f ( a ) 是f ( x )的极大值的情况,例6,证,由Taylor公式，得,因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内,下面来考察两种情形,n为奇数，当x 渐增地经过x0时,变号,不变号,变号,不是极值,n为偶数，当x 渐增地经过x0时,不变号,不变号,不变号,是极值,是极小值,是极大值,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(
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