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第三节 格林公式及其应用（2）,一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结,一、曲线积分与路径无关的定义,如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有,二、曲线积分与路径无关的条件,定理 2,证,充分性,在 G 内任取一条闭曲线 C 。,C 所围的闭区域为 D。,G 是单连通的，因此，,于是，在 D 内,应用格林公式，有,即，在 G 内曲线积分,与路径无关。,必要性,用反证法,假设在 G 内存在使,的点 M0，,即,不妨设,由于P，Q 具有一阶连续偏导数，,因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D, 在 D内,应用格林公式，有,于是，,矛盾。,因此，在 G 内恒有,两条件缺一不可,有关定理的说明：,定理 2,L,与路径无关,解,因此，积分与路径无关。,则 P，Q 在全平面上有 连续的一阶偏导数，且,全平面是单连通域。,取一简单路径：L1 + L2.,解,因此，积分与路径无关。,则 P，Q 在全平面上有连续的 一阶偏导数，且,全平面是单连通域。,取一简单路径：L1 + L2.,三、二元函数的全微分求积,定理3,证略,解,例3 验证：在 xoy 面内，,是某个函数,u (x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数。,这里,且,在整个 xoy 面内恒成立。,即，,因此，在 xoy 面内，,是某个函数,u (x, y) 的全微分。,四、小结,与 路 径 无 关 的 四 个 等 价 命
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