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文档简介
范围 对称性 顶点 离心率 基本元素,2.4.2 抛物线的简单几何性质,平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线.,一、抛物线的定义,复习,设KF= p,设点M的坐标为(x,y),,由定义可知,,二、抛物线的标准方程,方程 y2 = 2px(p0)叫做 抛物线的标准方程.,其中 p 为正常数. 它的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离,想一想?,选择不同的位置建立直角坐标系时,情况如何?,根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线方程对应关系如何判断抛物线的焦点位置,开口方向?,第一,一次项的变量如为x,则x轴为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴x轴上. 一次项的变量如为y,则y轴为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴Y轴上.,第二,一次变量的系数正负决定了开口方向,问题,练习1 (1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x, 求它的焦点坐标和准线方程.,(2)已知抛物线的方程是y = 6x2, 求它的焦点坐标和准线方程.,(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程.,练习,练习2 求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.,解:当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=,当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px, 得p=,故抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x .,练习3 M是抛物线y2 = 2px(p0)上一点,若 点M 的横坐标为x0,则点M到焦点的距离是 ,这就是抛物线的焦半径公式!,练习4,根据下列条件,写出抛物线的标准方程:,(1)焦点是F(3,0);,(2)准线方程是x = ;,(3)焦点到准线的距离是2.,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x或 y2 = -4x 或x2 =4y 或 x2 = -4y,练习5 写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2 = 20x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0,(5,0),x= -5,(0,-2),y=2,一、抛物线的范围 y2=2px,y取全体实数,x 0,新课,二、抛物线的对称性 y2=2px,关于x轴对称,没有对称中心,因此,抛物线又叫做无心圆锥曲线. 而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线.,定义 :抛物线与对称轴的交点,叫做抛物线的顶点, 抛物线只有一个顶点.,三、抛物线的顶点 y2=2px,四、抛物线的离心率 y2=2px,基本点:顶点、焦点,基本线:准线、对称轴,基本量:p(决定抛物线开口大小).,五、抛物线的基本元素 y2=2px,x轴正半轴,向右,x轴负半轴,向左,y轴正半轴,向上,y轴负半轴,向下,六、抛物线开口方向的判断,例1 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切,分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,例题,证明:如图,所以EH是以AB为直径的圆E的半径,且EHl,因而圆E和准线l相切,设AB的中点为E,过A, E, B分别向准线l引垂线AD,EH,BC,垂足为D, H, C,,则AFAD,BFBC,故ABAFBF ADBC=2EH,例2 给定 , 设A(a,0) (a0),P是抛物线上一点且|PA|=d,试求d的最小值.,例3 若点P在y=x上 ,点Q在圆 (x-3)+y=1上,求|PQ|最小值.,例4 求抛物线y=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上点的坐标.,求满足下列条件的抛物线的方程,(1)顶点在原点,焦点是(0,4),(2)顶点在原点,准线是x4,(3)焦点是F(0,5),准线是y5,(4)顶点在原点,焦点在x轴上, 过点A(2,4),练习,1. 抛物线的定义,标准方程类型与图象
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