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,第八节,一、最值定理与有界性,二、介值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区间上连续函数的性质,第二章,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论(有界性定理).,由定理 1 可知有,证: 设,上有界 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,说明：定理1的条件不满足,结论不一定有,如,证:,例1. 证明: 若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理, 使,取,则,在,内连续,存在, 则,必在,内有界.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 证明略 ),二、介值定理,2)定理提供了判断 根的存在性的,新方法.,说明,例1. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,则,例2.,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,正根 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明：,例3 设,证,若记,由于,因此, 若,则问题得证.,若,则由零点存在定理,即,定理3. ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,证: 作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,使,至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（1）开区间内的连续函数,（2）闭区间上的不连续函数 (仍用此例)。,上严格单调，,则介值定理中的 唯一；,说明,3),则f(x)可以取到它最大值M,与最小值 m 之间的一切值. (推论),根据最值定理 ,例4,证,根据最值定理推论,于是,上连续 , 且恒为正 ,例5. 设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令, 则,使,故由零点定理知 , 存在,即,当,时,取,或, 则有,证明:,小结 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明至少存在,使,提示: 令,则,易证,1. 设,一点,2. 设,且,则在(a , b)内至少有一点c，,使得,提示: 设,易证,利用零点定理即可得证.,3. 任给一张面积
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