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第五章 大数定律及中心极限定理,一、切比雪夫不等式 二、大数定律 三、中心极限定理,主要内容,一、切比雪夫不等式,证明,取连续型随机变量的情况来证明.,切比雪夫不等式,所以,例1 已知人的血液中 ，每一毫升白细胞数平均是7300，标准差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 .,解：设每毫升白细胞数为X,依题意， E(X)=7300,D(X)=7002 ，所求为,P(5200 X 9400),= P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100,即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 不小于8/9 .,例2 (2001, 数学一)设随机变量X的方差为2,则,根据切比雪夫不等式有估计,解:,切比雪夫不等式为,故,不需考虑X服从什么分布，只要知道X的数学期望和方差就可以,给出的估计相对比较粗糙 仅当偏差区间是以E(X) 为中心的区间时才能用,二、大数定律,问题的提出,在第一章提出，人们在长期实践中发现，虽然个别事件在某次实验中可以出现也可以不出现，但是在大量重复试验中却呈现明显的规律性，即一个随机事件出现的概率在某个固定数的附近摆动，这就是所谓“频率稳定性”，对于这一点，我们将在本节给予理论上的说明。,依概率收敛的序列有如下性质：,由数学期望和方差的性质,证明,由切比雪夫不等式可得,并注意到概率不能大于1, 则,三、中心极限定理,在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差， 就受着许多随机因素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响 的.每个随机因素对炮弹着点（随机变 量和）所起的作用都是很小,那么综合影响后炮弹弹着点服从怎样分布 ？,问题的提出,定理一(李雅普诺夫定理),则随机变量之和的标准化变量,定理一表明:,定理二（独立同分布的中心极限定理）,定理二表明:,定理三(德莫佛拉普拉斯中心极限定理),证明:,已知,根据定理二得,正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.,定理三表明:,例3,解:,由定理二, 随机变量 Z 近似服从正态分布N(0,1) ,其中,一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪冲击, 问其中有29 50030 500次纵摇角大于 3 的概率是多少？,例4,解:,将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90 000次波浪冲击中,纵摇角大于 3 的次数为 X,则 X 是一个随机变量,所求概率为,分布律为,直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理,对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X 超过450的概