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第二章 随机变量及其分布,2.4 随机变量的分布函数 随机变量函数的分布,离散型随机变量的概率分布,例如,连续型随机变量的概率分布,例如,为了对离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布给出一种统一的描述方法，引进了分布函数的概念.,定义5 设X为随机变量, x是一个数,则概率PXx与x有关，随x的变化而变化，因而是x的函数,称F(x)= PXx为X的分布函数。,一、随机变量的分布函数,问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什 么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？,X是随机变量, x是参变量.,F(x) 是随机变量X取值不大于 x 的概率.,分布函数F(x)的取值本身就是一个概率值，并且F(x)的定义域为整个实数域。,由定义，对任意实数 ab，随机变量X 在区间（ a , b 内取值的概率为：,因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.,分布函数是一个普通的函数，通过 它，可以用高等数学的方法来研究随机 变量.,分布函数 F (x) 的性质,离散型随机变量的分布函数,设离散型随机变量X 的分布律为,P X=xk = pk , k =1 , 2 , 3 , ,则 F(x) = PX x =,由于F(x) 是 X 取 的各个 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积分布函数.,例 设随机变量的分布律为,求X的分布函数,X的分布函数为,练习 设随机变量的分布列为,求X的分布函数,连续型随机变量的分布函数,即分布函数是概率密度函数的变上限定积分.,由上式可得，在 f (x)的连续点处，,练习 设随机变量X具有概率密度函数 试确定常数A， 以及X的分布函数.,解,知A=3， 即,而X的分布函数为,课堂练习P41：11 设随机变量X的分布函数为,分布函数是概率密度的变上限积分，在连续点处有：,定义6 设 g(x)是定义在随机变量X的一切可能取值x的集合上的函数,如果对于X的每一个可能取值x，有另一个随机变量Y 的相应取值 y= g(x),则称Y 为X 的函数，记为Y=g(X)。,注: 随机变量Y 与X 的函数关系为从 X的分布出发导出Y 的分布提供了可能.,二、随机变量函数的分布,设离散型随机变量 X 的分布律为,由已知函数 Y = g(X ) 可求出随机变量 Y 的所有可能取值，则 Y 的概率分布为,练习 已知 X 的分布律为,X,pk,-1 0 1 2,求 Y 1= 2X 1 与 Y 2= X 2 的分布律。,已知随机变量 X 的概率密度函数 f (x) (或分布函数)，求 Y = g( X ) 的概率密度函数或分布函数。,(2) 利用Y = g( X ) 的分布函数与概率密度函数 之间的关系，求Y = g( X ) 的概率密度函数:,(1) 先求Y = g( X ) 的分布函数:,例18 设随机变量,练习,例 设 X N ( , 2) , Y
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