概率论与数理统计2.3.pptVIP

定义,设随机变量X 的分布函数为F(x),则称 X 为连续随机变量，,若存在非负可积函数 f(x) ，满足：,称 f(x)为概率密度函数，简称密度函数.,2.3 连续型随机变量及其概率密度,密度函数的基本性质,满足(1) (2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.,(非负性),(规范性),注意点,(1),(2) F(x) 是 (, +) 上的连续函数; (3) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0;,(4) PaXb = PaXb = PaXb = PaXb = F(b)F(a).,(5) 当F(x) 在x点可导时, f(x) =,所以，概率为零的事件不一定是不可能事件！,连续型,密度函数 X f(x) ( 不唯一 ),2.,4. P(X=a) = 0,离散型,分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ),2. F(x) =,3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).,4. 点点计较,5. F(x)为阶梯函数。,5. F(x)为连续函数。,F(a0) = F(a).,F(a0) F(a).,例1 已知随机变量X概率密度为：,试求 1)常数a； 2)分布函数F(x)； 3)并计算,例2 设连续型随机变量X的分布函数 求A,B的值; 求X落在区间(0,ln2)内的 概率； 3. 求X的概率密度f(x)。,例3: 一种电子管的使用寿命为X小时，其概率密度为 某仪器内装有3个这样的电子管，试求使用150小时内至多一个电子管需要换的概率。,（一）均匀分布 XU(a,b),实际背景： 随机变量 X 仅在一个有限区间（a,b）上取值； 随机变量 X在其内取值具有“等可能”性，则 XU(a,b)。,三种重要连续型分布,“等可能”表现在： 若acc+l b，则 PcXc+l 与位置无关，只与长度有关,设X具有概率密度： 则称X在区间 (a,b)上服从均匀分布， 记为XU(a,b)。,例1：设电阻值R是一个随机变量，均匀分布 在9001100，求R的概率密度及R落在 9501050的概率。,解：按题意，R的概率密度为：,X U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.,解：,记 A = X 3 ,则 P(A) = P( X 3) = 2/3,设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3, 2/3)，所求概率为,P(Y2) =,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,例2,（二）指数分布,实际背景：在实践中，如果 X表示某一随机事件发生所需等待的时间，则一般 服从指数分布。 如：随机服务系统中的服务时间； 在某邮局等候服务的等候时间； 某电子元件直到损坏所需的时间（即寿命）,指数分布,记为 X Exp(),其中 0.,指数分布具有无记忆性：,如果X是某一元件的寿命，已知元件已使用了 s小时，它还能继续使用至少 t小时的条件概率，与从开始时算起至少能使用 t 小时的概率相等。 即元件对它已使用过s小时无记忆。,例1 机器里安装的某种元件，已知这种元件的使 用寿命X（年）服从参数为1/5的指数分布， 1)计算一个元件使用8年后仍能正常工作的概率； 2)一个元件已经使用了3年，求它还能再使用8年的概率。,（三）正态分布 XN(,2),正态分布随机变量 X的概率密度为,其中 为常数，,实际背景：如果一个随机现象是由大量微小的相互独立的因素共同构成，那么描述这种随机现象的随机变量通常被认为服从或近似服从正态分布,f(x),x,O,正态分布的性质,(1) f(x) 关于 是对称的.,f(x),x,0,在 点 f(x) 取得最大值.,(2) 若 固定, 改变,(3) 若 固定, 改变,大,f(x)左右移动,形状保持不变., 越大曲线越平坦;, 越小曲线越陡峭.,在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。如: 测量误差； 在稳定条件下产品的各种指标; 某地区人的身高、体重； 大面积考试的分数等,思考：上述随机变量实际取值范围并不是（-，+），但正态分布取值范围是（-，+），矛盾吗？,p(x),x,0,x,x,标准正态分布N(0, 1),密度函数记为 (x),分布函数记为 (x).,(x) 的计算,(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表.,(2) x 0时, 用,若 X N(0, 1), 则 (1) P(X a) = (a); (2) P(Xa) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|X|a) = P(aXa) = (a)(a) = (a) 1 (a) = 2(a)1,例1 设 X N(0, 1), 求 P(X1.96) , P(|X|1.96),= 1 (1.96),= 1(1 (1.96),= 0.975 (查表得),= 2 (1.96)1,= 0.95,= (1.96),解: P(X1.96),P(|X|1.96),= 2 0.9751,设 X N(0, 1), P(X b) = 0.9515, P(X a) = 0.0495, 求 a, b.,解: (b) = 0.9515 1/2, 所以 b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66,而 (a) = 0.0495 1/2, 所以 a 0, (a) = 0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65,例2,一般正态分布的标准化,定理2.3.1 设 X N(, 2),则 Y N(0, 1).,推论:,若 X N(, 2), 则,设 X N(10, 4), 求 P(10X13), P(|X10|2).,解: P(10X13) = (1.5)(0),= 0.9332 0.5,P(|X10|2) =,P(8X12),= 2(1)1,= 0.6826,= 0.4332,例3,例 假设在设计公共汽车车门的高度时，要求男子的碰头机会在1%以下，设男子的