概率论与数理统计2.3a.ppt

2.3 常用的离散型分布,一、二点分布 二、n个点上的均匀分布 三、二 项 分 布 四、几何分布 五、超几何分布 六、泊松(Poisson)分布,一、二点分布,称只取二个值的随机变量 X 的概率分布,为服从x1, x2处参数为 p 的两点分布,称0, 1处服从参数为 p 的 两点分布为Bernoulli分布(0-1分布),用X表示在这次Bernoulli试验中事件A发生(试验成功)的次数, 或者说, 令,设：,Bernoulli分布的概率背景,二、n个点上的均匀分布,如果随机变量 X 只取n个不同的值，且其概率分布为,均匀分布,三、二 项 分 布,如果随机变量 X 的概率函数为,说 明,显然，当 n=1 时,二项分布的验证,由于,以及 n 为自然数，可知,又由二项式定理，可知,所以,是概率函数,二项分布的概率背景,进行n重Bernoulli试验(独立地重复进行n次Bernoulli试验)，,令 X：在这n次Bernoulli试验中事件A发生的 次数,设在每次试验中,例1,一个袋子中装有N个球，其中N1个白球、N2个黑球(N1+N2=N)，每次从中取出一球，查看完其颜色后再放回，一共取n次，求取到的白球数X的分布。,二项分布的均与方差,四、几何分布,若随机变量 X 的概率函数为,几何分布的验证, 由条件, 由条件可知,综上所述，可知,是概率函数,几何分布的概率背景,在Bernoulli试验中，设,试验进行到 A 首次出现为止,即：,几何分布的的无记忆性,设X服从几何分布，则对任何两个正整数m, n, 有,P(Xm+n|Xm)=P(Xn),五、超 几 何 分 布,如果随机变量 X 的概率函数为,超几何分布的均值与方差,超几何分布的概率背景,一批产品有 N 件，其中有 N1件次品，其余 N2=N-N1 件为正品现从中无放回地取出 n 件令： X为取出 n 件产品中的次品数则，X的概率函数为,若抽样是有放回的，则随机变量X服从 p= N1/N 的二项分布. 即,超几何分布与二项分布的关系,证：,六、泊松(Poisson)分布,如果随机变量 X 的概率函数为：,则称随机变量 X 服从参数为的Poisson 分布记为XP(),泊松分布的验证, 由于,可知对任意的自然数 m，有, 又由幂级数的展开式，可知,所以,是概率函数,Poisson分布的均值与方差,Poisson分布的应用,Poisson分布是概率论中重要的分布之一 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布, 例如: 电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数; 放射物在某一时间间隔内发射的粒子数; 容器在某一时间间隔内产生的细菌数; 某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数; 某一时间间隔内各种事故、自然灾害、不常见病、不幸事件发生的次数.,例2,某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用参数=10的泊松分布来描述，为了以95%以上的概率保证脱销，问商店在月底应存多少件该种商品(设只在月底进货)。,二项分布与泊松分布的关系(泊松定理),在n重伯努利试验中，成功次数 X 服从二项分布。假设每次试验成功的概率为pn(0 pn 1)，并且,则对于任何非负整数m，有,由此，对于成功概率为p的n重伯努利试验，只要n充分大，而p充分小，则其成功次数X近似地服从参数=np的泊松分布. 即,例3,纺织厂女工照顾800个纺锭