概率论与数理统计课件第四周.ppt

2-4 连续型随机变量,一. 连续型随机变量及其概率密度,1. 定义2.2 设随机变量 X 的分布函数为F(x), 如果存在一个非负可积函数 f(x), 使对任意的实数x，均有,则称X是连续型随机变量，称f(x)是X的概率密度或密度函数，简称密度。连续型随机变量X的分布函数F(x)和密度函数f(x)统称为X的概率分布，简称X的分布。,（1）,（2）,(3) P (a X b)=F(b)-F(a),(4) 若 f (x) 在点 x 处连续，则有,故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 它反映了X在x附近单位长区间上取值的概率。,若x是 f(x)的连续点，则：,=f(x),(5) 设x为 f(x)的连续点，当x较小,则有,P(x X x+x ) = F(x+x)-F(x),=,要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率在该点的密集程度.,(6) P(X=x0)=F(x0)-F(x0-0),对连续型 随机变量X,其F(x)是连续的, 故P(X=x0)=0. 从而,例题,P40 例1,二 几种常见的连续型分布,(1) 若随机变量X 的概率密度为,1. 均匀分布,则称 X 在(a, b)上服从均匀分布，记为XU(a, b),若 X 取值在区间(a, b) 上，并且它在 (a, b)中任意小区间内取值的概率与这个小 区间的长度成正比. 则 X 具有(a,b)上的均匀 分布. 原因如下:,相应的分布函数为,对于 a c d b 我们有 P(c X d)=(d-c) / (b-a),例4 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意， X U ( 0, 30 ),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 所求概率为：,从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,一般地，设D是轴上一些不相交的区间之和，若X的概率密度为,则称X在D上服从均匀分布。,2 指数分布,若随机变量 X 的概率密度为,其中常数0 ，则称X 服从参数为的指数分布，相应的分布函数为,例5：服从指数分布的随机变量X具有无记忆性：对于任意 s, t0, 有 PXs+t | Xs = PXt. (参见书 p 43),指数分布有如下重要性质：,3. 正态分布的定义,若随机变量 X 的概率密度为,记作,其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布.,X 的分布函数为,下面请看正态分布的密度函数有什么特点？,4. 正态分布 密度函数图形的特点,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,b. 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的密度函数图形特点,c. 在x=处密度函数f(x)达到最大值:,d. 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。,当x 时，f(x) 0,e.,为f (x)的两个拐点的横坐标。,x = ,年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.,5. 正态分布的分布函数,6. 标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,注意：(0)=0.5 (-x)=1-(x),若 XN(0, 1),标准正态函数表见附表(p201-202),7. 正态分布的计算,对任意的实数x1， x2 (x1 x2)，有,例6,设 X N(, 2), 求 P( |X- | k )的值, k=1, 2, 3 (图示见书p46）,例6说明 质量控制的3原则。设在正常生产的情况下，某零件的尺寸X服从正态分布N(, 2),为了在生产过程中随时检查有无系统性误差出现，人们画了一个质量控制图。每隔一定时间，对产品尺寸进行检查，测量的产品的尺寸应落在上、下控制线之内。如果点超出控制线，则很有可能是生产出现了异常情况，应该暂停生产进行检查。当然也可能虚报，但虚报的可能性比较小。,例7 公共汽车车门的高度是按男子与车门 顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子 身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,解: 设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我们来求满足上式的最小的 h.,因为XN(170,62),查表得 (2.33)=0.99010.99,所以 =2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.,例8,某市高校高等数学统考, 假定考生成绩 X N(, 2). 现已知80分以上者占总人数的33%, 40分以下者占总人数的8%, 求考生的及格率.,已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布，,求功率 W=V 2/R (R为电阻）的分布.,下面考虑随机变量函数的分布,2-5 随机变量函数的分布,一般地，设X, Y 是两个随机变量，y=g(x)是一个已知函数，如果当X 取值 x 时，Y取值为g(x)，则称Y 是随机变量X 的函数, 记作 Y=g(X).,一 离散型随机变量函数的分布,例1,设X,求 Y= 2X + 3 的概率函数.,例 2 P49,一般地，若X 的分布列为,则Y = g(X) 的分布列为,如果 g(xk )中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.,例,设随机变量 X 具有以下分布律, 试求Y=(X-1)2 的分布律.,二 连续型随机变量函数的分布,解：设Y 的分布函数为 FY ( y )，,例3,设 X ,求 Y=2X+8 的概率密度.,FY (y)=PY y = P (2X+8 y ),=P X = FX( ),于是Y 的密度函数,故,注意到 0 x 4 时，,即 8 y 16时，,此时,Y=2X+8,1. 当 y=g(x) 是单调函数,定理 若连续型随机变量 X 只在(a, b)上取值，它的概率密度为 fX(x)，又 y =g (x) 是严格单调的可导函数，则Y =g (X)是连续型随机变量，其概率密度为,其中 x = h(y) 是 y =g(x) 的反函数，(，)是 y =g(x), a x b 的值域。,假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y=1-e-2X 在区间（0，1）上服从均匀分布。,例 4,的反函数为,且其导数为,再利用前面的定理,把这些代入公式就得到,化简得,2. 当y =g(x)是非单调函数,例 5,求导可得,当 y0 时,注意到 Y=