矩阵的特征值和特征向量二次型.ppt

实验三,矩阵的特征值和特征向量 二次型,实验目的,1、学会用MATLAB软件求矩阵的特征值和特征向量,2、学会用MATLAB软件将二次型化为标准型,3、通过用MATLAB软件编程来判断二次型的正定性,一、特征值与特征向量,其中：D为由特征值构成的对角阵，V为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使 AV=VD 成立,用Matlab计算特征值和特征向量的命令如下：,d=eig(A),仅计算A的特征值(以向量形式d存放),V,D=eig(A),trace(A),计算矩阵A的迹,例1：求方阵,的特征值、特征向量和迹,解：, A=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5;, V D=eig(A), trace(A),V = -0.2981 0.8944 0.3333 -0.5963 -0.4472 0.6667 -0.7454 0 -0.6667,D = 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 10.0000, trace(A) ans = 12,答：,特征值为：,例2：求方阵,的特征值、特征向量和迹,解：, A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1;, V D=eig(A), trace(A),二、矩阵的相似对角化,例3：判断下列方阵是否可对角化。若可对角 化，求出可逆阵P，使P-1AP为对角阵。,解(1)：, A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1;, V D=eig(A), rank(V),ans = 3,答：A可对角化，且,V = 0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1.0000 -0.5774 0,D = 1 0 0 0 -2 0 0 0 1, A=0 1 0;-1 2 0;-1 1 1;, V D=eig(A), rank(V),ans = 2,答：A不可对角化。,解(2)：,V = 0 0.6325 0.4511 0 0.6325 0.4511 1.0000 0.4472 0.7701,D = 1 0 0 0 1 0 0 0 1,下述函数可用来判断矩阵是否可对角化，若可对角化返回1，否则返回0。,function y=trigle(A) %可对角化返回1，否则返回0。 y=1;c=size(A); if c(1)=c(2) y=0; return; end e=eig(A);n=length(A); while 1 if isempty(e),return; end d=e(1); f=sum(abs(e-d)10*eps); g=n-rank(A-d*eye(n); if f=g y=0; return; end e(find(abs(e-d)10*eps)= ; end,function y=trigle(A) %可对角化返回1，否则返回0。 y=1;c=size(A); if c(1)=c(2) y=0; return end e=eig(A);n=length(A); while 1 if isempty(e) %若为空阵则为真,return; end d=e(1); f=sum(abs(e-d)10*eps); %特征值d的代数重数 g=n-rank(A-d*eye(n); %特征值d的几何重数 if f=g y=0; return; end e(find(abs(e-d)10*eps)= ; end,例4：判断下列方阵是否可对角化。若可对角 化，求出可逆阵P，使P-1AP为对角阵。,解(1)：, A=4 -3 1 2;5 -8 5 4;6 -12 8 5;1 -3 2 2, trigle(A),ans = 0, A=1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 1 1 ;1 1 1 1;, trigle(A),ans = 1,答：A不可对角化。, P D=eig(A),解(2)：,答：A可对角化，且,P = -0.5000 0.2113 0.2887 0.7887 0.5000 0.7887 -0.2887 0.2113 0.5000 -0.5774 -0.2887 0.5774 0.5000 0 0.8660 0,D = -2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000,二、 二次型化标准型,例5：判断下列矩阵是否对称,A=1 3 4 6;3 7 9 5;4 9 4 1;6 5 1 0; B=A; if(A=B) fprintf(A是对称矩阵) else if(A=-B) fprintf(A是反对称矩阵) else fprintf(A既不是对称矩阵，也不是反对称矩阵) end end,A是对称矩阵,解：,Matlab中二次型化成标准形的命令为：, P , T = schur (A),其中： A 二次型矩阵(即实对称矩阵)； T 为 A 的特征值所构成的对角形矩阵； P 为 T 对应的正交变换的正交矩阵 ， P 的列向量为 A的特征值所对应的特征向量, P , T = eig (A),例6：求一个正交变换，将二次型,解：该二次型所对应的矩阵为,化成标准形, A = 1 1 0 1; 1 1 1 0; 0 1 1 1;-1 0 1 1;, P , T = schur (A),P = -0.5000 0.7071 0.0000 0.5000 0.5000 -0.0000 0.7071 0.5000 0.5000 0.7071 0.0000 -0.5000 -0.5000 0 0.7071 -0.5000, P , T = eig (A),T = -1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 3.0000,答：所作的正交变换为：,二次型的标准型为：,例7：求一个正交变换，将二次型,解：该二次型所对应的矩阵为,化成标准形, A = 4 2 2;-2 1 1/2;2 1/2 1;, P , T = schur (A),P = 0.5458 -0.0000 0.8379 0.5925 0.7071 -0.3859 -0.5925 0.7071 0.3859,T = -0.3423 0 0 0 0.5000 0 0 0 5.8423,答：所作的正交变换为：,二次型的标准型为：,三、 正定二次型的判定,1. 顺序主子式判断法, 求二次型 F=XAX 的矩阵 A 的各阶顺序 主子式 Di (i=1,2,3);, 判断 Di 是否大于0 .,程序：建立函数文件 shxu.m,function C,M =shxu(A) % C为A的各阶顺序主子式组成的向量 % M为判定向量: if C(i)0, then M(i)=1; % others M(i)=0 n=size(A); C= ; M= ; for i=1:n(1) A1=A(1:i,1:i); D=det(A1);,C=C D; if D0 m=1; else m=0; end M=M,m; end,2、特征值判别法, 求二次型 f =XAX 的矩阵 A 的全部特征 值 （i=1,2,）；, 判断 是否大于 0 .,程序：建立函数文件 tezh.m,function T , M = tezh (A) n=size(A); T=(eig(A) ; M= ; for i =1:n(1) if T(i)0 m=1; else m=0; end M=M,m; end,例8 判定下列二次型是否正定,解 二次型矩阵,方法一 顺序主子式, A = 1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1 3 6 19 ; C,M = shxu (A),答：此二次型是正定的。,C = 1 2 6 24 M = 1 1 1 1,方法二 特征值法,T = 0.0643 2.2421 7.4945 22.1991 M = 1 1 1 1, A = 1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1 3 6 19 T , M = tezh (A),答：此二次型是正定的。,例9 判定下列二次型是否正定,解 二次型矩阵,方法一 顺序主子式, A = 9 6 24;-6 130 30;24 30 71 ; C,M = shxu (A),答：此二次型是正定的。,C = 9 1134 6174 M = 1 1 1,方法二 特征值法,T = 0.6576 65.0894 144.2530 M = 1 1 1, A = 9 6 24;-6 130 30;24 30 71 ; T , M = tezh (A);,答：此二次型是正定的。,例10 判定下列二次型是否正定,解 二次型矩阵,方法一 顺序主子式, A = 10 4 12;4 2 14;12 14 1 ; C,M = shxu (A),答：此二次型不是正定的。,C = 10 4 -3588 M = 1 1 0,方法二 特征值法,T = -17.4209 10.1708 20.2501 M = 0 1 1, A = 10 4 12;4 2 14;12 14 1 ; T , M = tezh (A),答：此二次型不是正定的。,function C,M =shxuf(A) % C为A的各阶顺序主子式组成的向量 % M为判定向量: if C(i)0, then M(i)=1; if C(i)0, then M(i)=-1; others M(i)=0 n=size(A); C= ; M= ; for i=1:n(1) A1=A(1:i,1:i); D=det(A1); C=C D;,if D0 m=1; elseif D0 m=-1； else m=0; end M=M,m; end,function T , M = tezhf (A) n=size(A); T=(eig(A) ; M= ; for i =1:n(1) if T(i)0 m=-1; else m=0; end M=M,m; end,function T , M = tezhf (A) n=size(A); T=(eig(A) ; M= ; for i =1:n(1) if T(i)0 m=1; elseif T(i)0 m=-1; else m=0; end M=M,m; end,例10 判定下列二次型是否负定,解 二次型矩阵,方法一 顺序主子式, A = -1 1 2 1;1 3 0 3;-2 0 9 6;-1 3 6 -19 ; C,M = shxuf (A),答：此二次型是负定的。,C = -1 2 -6 24 M = -1 1 -1 1,方法二 特征值法,T = -22.1991 -7.4945 -2.2421 -0.0643 M = -1 -1 -1 -1, A = -1 1 2 1;1 3 0 3;-2 0 9 6;-1 3 6 -19 ; T , M = tezhf (A),答：此二次型