控制系统的数学模型.ppt

2 控制系统的数学模型,2 控制系统的数学模型,数学模型：从狭义上说，就是一种描述系统各变量之间关系的数学表达式，一般用微分方程来描述系统及过程的动态特性。,2 控制系统的数学模型,2.1数学模型的建立建模 1)机理建模 2)实验辨识,2 控制系统的数学模型,机理建模的步骤： 由系统或元件的工作原理，确定输入量和输出量； 根据支配元件输出量和输入量内在联系的物理或化学规律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出元件的运动方程。本课程常用的定律有：牛顿定律、能量守恒定律、基尔霍夫定律。 将得到的运动方程，消去中间变量，求得描述系统输入量与输出量关系的数学方程。,2 控制系统的数学模型,2.2非线性数学模型的线性化,2 控制系统的数学模型,实际的物理系统往往有死区、饱和、间隙等各类非线性现象。严格的来讲，构成控制系统的元件，其输出与输入信号之间都具有不同程度的非线性，所建立的系统运动方程也应该是非线性的。但用非线性微分方程来研究系统的动态特性是很困难的。工程上常采用对非线性系统的动态特性进行线性化处理。,2 控制系统的数学模型,把非线性系统处理成为线性系统的过程，称为非线性系统的线性化.,2 控制系统的数学模型,在不影响研究分析系统的性能的原则下，忽略某些非线性因素，将元件或系统视为线性的； 把非线性特性在工作点附近用泰勒级数展开的方法进行线性化，所得工作点附近范围内的非线性特性，用线性模型近似；,2 控制系统的数学模型,自动控制系统通常都有一个正常工作状态即稳态。系统在工作中往往受到各种扰动，使其偏离工作状态，自动控制系统会自动地进行调节，力图消除这种偏差。对于稳定的系统，这种偏差是很小的，满足偏差线性化条件。以下介绍一些简化过程。,2 控制系统的数学模型,2.3传递函数的概念及基本环节的传递函数2.3.1传递函数的概念 传递函数的定义：在初始条件为零条件下，系统的输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。,2 控制系统的数学模型,设线性定常系统的输入量 ，输出量 ，描述系统运动规律的常微分方程的一般形式为： 式中： 为常数。,2 控制系统的数学模型,当初始条件为零时，进行拉氏变换得 由传递函数的定义：,2 控制系统的数学模型,传递函数的性质 传递函数和微分方程一样，表示系统的运动特性，是数学模型的一种表示形式，它与系统的运动方程一一对应； 传递函数取决于系统的结构参数，与外界无关； 传递函数为复变量的函数，一般为有理式； 传递函数只适用于线性定常系统。,2 控制系统的数学模型,拉氏变换 定义：若函数 满足： (1) 时， ; (2) 时，函数 连续； (3) ， ,则函数 称为函数 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。,2 控制系统的数学模型,基本函数的拉氏变换 脉冲函数 定义： 且有,2 控制系统的数学模型,单位阶跃函数 定义：,2 控制系统的数学模型,单位斜坡函数 定义：,2 控制系统的数学模型,指数函数,2 控制系统的数学模型,正弦函数,余弦函数,2 控制系统的数学模型,拉氏变换的特性 线性性质 实数域位移定理,2 控制系统的数学模型,复数域的位移定理 相似定理,2 控制系统的数学模型,微分定理 积分定理,2 控制系统的数学模型,初值定理 终值定理,例：,2 控制系统的数学模型,拉氏反变换的求解方法 对于简单的 ，可直接查表求得；对于比较复杂的 ，不能直接查表，需将 简化为简单形式的组合再查表。,2 控制系统的数学模型,通常可以表示为复数s的有理形式： 其中：,若 无重根，即 为 的单零点，则可将表达式 化成分步形式 其中,2 控制系统的数学模型,例：求 的拉氏反变换 解：,2 控制系统的数学模型,2 控制系统的数学模型,若 有重根 设 有 个重根 ，则,2 控制系统的数学模型,系数的确定,例：求 的原函数,2 控制系统的数学模型,作业1：求解微分方程 初始条件,作业2：求解微分方程 初始条件,2 控制系统的数学模型,2.3.2基本环节的传递函数,2 控制系统的数学模型,1）比例环节,2 控制系统的数学模型,2) 一阶惯性环节,2 控制系统的数学模型,3) 微分环节,2 控制系统的数学模型,4) 一阶微分环节,2 控制系统的数学模型,5) 二阶微分环节,2 控制系统的数学模型,6) 积分环节,2 控制系统的数学模型,7) 振荡环节 令 ，则：,2 控制系统的数学模型,8) 时延环节,2 控制系统的数学模型,2.4控制系统的结构图及其等效变换 2.4.1结构图（方框图）的基本概念,2 控制系统的数学模型,结构图：是描述系统运动特性的数学图形，是系统中各元件功能和信号流向的图解表示。用结构图描述控制系统，可以清楚地表明系统中各组成元件的信号传递关系，输出量与输入量的因果关系，而且可以比较方便的确定系统的传递函数。,2 控制系统的数学模型,信号线：用带有箭头的直线表示，箭头方向表示信号传递的方向，在直线的一侧标注信号的名称； 方框：表示信号通过方框后进行的数学变换，在方框中的传递函数表示信号变换的特性； 加减点：也称综合点，表示信号相加或相减； 引出点：也称为测量点，表示同一信号向不同方向的传递，在同一点引出的信号在数值上和性质上完全相同。 任何复杂的线性定常系统的信号传递特点，都可以运用上诉符号，用结构图表示出来。,2 控制系统的数学模型,2.4.2绘制结构图的一般步骤 1) 列写系统（元件）的原始微分方程； 2) 设初始状态为零，对这些原始微分方程进行拉氏变换； 3) 根据拉氏变换式中的因果关系，画出信号传递方框图，按系统中各信号的传递顺序，依次将各传递方框图连接起来，便得到系统的结构图。,例：车辆系统动力学模型,例： 型滤波器,2 控制系统的数学模型,2.4.3结构图的等效变换 目的：将原复杂的系统结构图，简化为简单的形式，从而便于求出整个系统的传递函数。 原则：保持原输出与输入变量之间的关系不变。,2 控制系统的数学模型,1) 串联结构图的等效变换,2 控制系统的数学模型,2) 并联结构图的等效变换,2 控制系统的数学模型,2 控制系统的数学模型,3) 加减点的移动方法 a、加减点后移,2 控制系统的数学模型,2 控制系统的数学模型,b、加减点前移,2 控制系统的数学模型,2 控制系统的数学模型,4) 引出点的移动方法 a、引出点后移,2 控制系统的数学模型,2 控制系统的数学模型,b、引出点前移,2 控制系统的数学模型,2 控制系统的数学模型,5）消除反馈,2 控制系统的数学模型,2 控制系统的数学模型,例： 型滤波器,2 控制系统的数学模型,例：1/4车辆动力学模型,2 控制系统的数学模型,2.4.4自动控制系统的传递函数,2 控制系统的数学模型,1）开环传递函数 开环传递函数并非指开环控制系统的传递函数，而是指闭环系统断开主反馈后整个环路的传递函数，记为,2 控制系统的数学模型,2）闭环传递函数 a、给定输入信号 单独作用； b、扰动输入信号 单独作用,2 控制系统的数学模型,3）给定输入信号和扰动信号同时作用,2 控制系统的数学模型,2.5脉冲响应函数 零初始条件下，线性定常系统对理想单位脉冲输入信号的时域响应函数，称为该系统的脉冲响应函数，记