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文档简介

一阶常微分方程 初等解法,2011.11.12,一阶常微方程的初等解法,变量分离方程与变量变换 线性微分方程与常数变易法 恰当微分方程与积分因子 一阶隐式微分方程与参数表示,重点：变量分离方程、线性微分方程、常数变易法、恰当微分方 程、积分因子、一阶隐式微分方程与参数解法； 难点：变量变换、积分因子、分项组合法、建立微分方程模型.,总 结,1：变量分离方程与变量变换,在上一张我们已经了解了微分方程的一些基本特点，下面我们来看一个题来回忆一下微分方程：,例 求解方程 .,两边积分，即得 ，,因而，通解为 .,1.1变量分离方程,形如,下面来做几道题来来练习一下变量分离方程，,例1,解 将方程变量分离，得到,两边积分得,这里 是任意常数，从上式解出 可得显示通解为,这里 是一个任意常数，此外， 也是方程的解，它可以被包含在通解中（取 ）.,例2,1.2 可化为变量分离的方程类型,这里只介绍两种简单的情形,代入原来的变量，得到原来方程的通解为,两边积分，得到通解,我们分三种情形来讨论：,这是方程化为,从而方程变为,上述方法也适用于如下方程：,得,代入方程，有,则,返回,2.线性微分方程与常数变易法,现在讨论非齐次线性微分方程通解的求法.,这样就可以得到,即,积分后得到,将其代入到前式中，可得到,积分之，得到,返 回,3.恰当微分方程与积分因子,3.1 恰当微分方程,将得到的方程对 求导，并使它满足上一个方程，即得,3.2 积分因子,解 方程可以改写为,容易看出，此方程有积分因子,以 乘之得,故通解为,因此，通解为,方法 2,将方程改写为,因此，通解为,即,因此，通解为,代回原来变量，即得,方法 4,同样解得,返回,4.一阶隐式微分方程与参数表示,一阶隐式微分方程的一般形式可表示为,4.1 可以解出 （或 ）的方程,两边对 求导，得到,解出 ，得到,因此，得到方程的参数形式的通解,设求得通解为,两边对 求导，得到,积分之，即有,4.2 可以解出 （或 ）的方程,以（4.10）代入上式得,两边积分，得到,从而,于是,积分之，得到,由此得,例 14 求解方程,有,
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