高数同济35函数的极值与最大值最小值.ppt

3.5函数的极值与最大值最小值,函数极值的定义 函数极值的求法 最值的求法 应用举例,一、函数极值的定义,定义,使函数取得极值的点称为极值点.,极 值,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,极值点,驻点,可导,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),定理2(第一充分条件),(不是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),(是极值点情形),例1 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求可能的极值点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,例2,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,(不是极值点弯曲方向改变),(是极值点曲线弯曲方向不变),定理3(第二充分条件),定理3(第二充分条件),证,同理可证(2).,由极限的局部保号性,例3 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,P156-2,定理3(第二充分条件),三、最值的求法,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值.,注意: 如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),四、应用举例,例4,解,计算,比较得,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,( kR),例5. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货,D 点应如何选取?,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问,km ,公路,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,例6,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（目标函数）,未租出房子为 套，,P161-15,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高.,最大收入为,例6,解,如图,解得,五、小 结,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,2.驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,3.判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),1.注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,4. 实际问题求最值的步骤.,作业: P162:1-(1)(7)、3、4-（2）、6、9、13、,思考题1,下命题正确吗？,思考题1解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,思考题2,思考题2解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,解,令f (x)=0, 得 x =1，, x=1为极大值点，极大值, 在(-1，0)内， f (x)0;,例6 求 的极值，并求其在-1,1上的最值。, x=0为极小值点，极小值 f (0)=0.,例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁，,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最