高数同济16极限存在准则两个重要极限.ppt

一、准则I及第一个重要极限,二、准则II及第二个重要极限,1.6 极限存在准则 两个重要极限,上页,下页,铃,结束,返回,首页,2,由条件(2) e 0 N 0 当nN 时 有,一、准则I及第一个重要极限,如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1) ynxnzn(n=1 2 3 ),准则 I,|yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由条件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e ,简要证明,下页,3,一、准则I及第一个重要极限,准则I,如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A,证明与准则 I类似,下页,如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1) ynxnzn(n=1 2 3 ),准则 I,4,第一个重要极限,因此 sin x x tan x ,简要证明,参看附图 设圆心角AOB=x,下页,两边除以sin x,得,5,注:,这是因为 令u=a(x) 则u0 于是,下页,(2),第一个重要极限,6,例2,解,解,例3,下页,7,例4,解,下页,8,思考:,1.公式计算,2.几何理解,下页,9,二、准则II及第二个重要极限,注:,如果xnxn+1 nN 就称数列xn是单调增加的 如果xnxn+1 nN 就称数列xn是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列,下页,准则II 单调有界数列必有极限,讨论: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？,10,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,准则II的几何解释,以单调增加数列为例,下页,数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能无限趋近于某一定点A ,11,例5,证,(舍去),12,根据准则II 数列xn必有极限, 此极限用e来表示.,第二个重要极限,e是个无理数 它的值是 e=2 718281828459045 ,下页,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,若可以证明,(2) xn3,(1) xnxn+1 nN,证明略,13,(1) xnxn+1 nN,大,大,正,比较可知,大,下页,14,根据准则 2 可知数列,有极限 .,又,(2) xn 3,即 xn 3,下页,15,下页,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,我们还可以证明,这就是第二个重要极限,第二个重要极限,e是个无理数 它的值是 e=2 718281828459045 ,16,证: 当,时, 设,则,下页,17,当,则,从而有,故,时, 令,下页,18,第二个重要极限,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,注:,下页,19,解,例6,令t=-x,下页,则x 时 t 于是,20,例7. 求,解: 原式 =,结束,21,内容小结,1. 两个重要准则及其应用,(1)夹逼准则,(2) 单调有界数列必有极限,2. 两个重要极限,或,22,思考：,23,故极限存在，,备用题,1.设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,24,作业：P56-1：（4）（5）（6）， P56-2：（3）（4）， 4：（2）（3）(5),25,最常见的四种e的定义如下： 1