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线性代数讲稿第一章 n阶行列式1.2 排列及其逆序数 1排列：个依次排列的元素 例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种 1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243 2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143 3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142 4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132 例1 互异元素构成的不同排列有种 解 在个元素中选取1个 种取法 在剩余个元素中选取1个 种取法 在剩余个元素中选取1个 种取法 在剩余2个元素中选取1个 2种取法 在剩余1个元素中选取1个 1种取法 - 总共种取法 2标准排列：个不同的自然数从小到大构成的排列 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列 3逆序数： (1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素） 之间有1个逆序 (2) 排列中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作 算法：固定, 当时, 满足的“”的个数记作（称为的逆序数）, 那么 例2 排列6372451中, 例3 排列, 求逆序数 解 记作 , , , , 4奇偶性：排列 奇数时, 称为奇排列； 偶数时, 称为偶排列 5对换： 相邻对换： 一般对换： 定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变 证 先证相邻对换：(1) (2) ：对换后增加1, 不变, 故； ：对换后不变, 减少1, 故 所以与的奇偶性相反 再证一般对换：(1) (2) (3) (1)(2)经过次相邻对换 (2)(3)经过次相邻对换 (1)(3)经过次相邻对换, 所以与的奇偶性相反 推论 奇排列标准排列, 对换次数为奇数 偶排列标准排列, 对换次数为偶数1.3 阶行列式的定义 1二阶： 2三阶： (1) 乘积中三个数不同行、不同列： 行标(第1个下标)：标准排列 123 列标(第2个下标)：是1,2,3的某个排列(共6种) (2) 正项：123, 231, 312为偶排列 负项：132, 213, 321为奇排列 于是 , 3阶：个数, 称 为阶行列式, 它表示数值 , 其中, 求和式中共有项 例3 计算, . 解 中只有一项不显含0, 且列标构成排列的逆序数为 , 故 中只有一项不显含0, 且列标构成排列的逆序数为 故 结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素 的乘积 以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素 的乘积, 并冠以符号 特例：， 定理2 (2) 证 由定义知 (1) 先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得 (3) 偶数 偶数次对换 偶数次对换 所以偶数 奇数 奇
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